Tự luyện Toán 12 · Bài 17 – Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R>0$, gồm các điểm $M(x;y;z)$ thỏa $IM=R$. Viết đẳng thức theo tọa độ, ta được Để xét một điểm, tính $I{M}^2$ rồi so sánh với $R^2$. Nếu hai số bằng nhau, điểm thuộc mặt cầu. Nếu $I{M}^2<R^2$, điểm nằm trong mặt cầu. Nếu $I{M}^2>R^2$, điểm nằm ngoài mặt cầu.

Nếu $AB$ là đường kính thì $I$ là trung điểm của $AB$ và $R=AB\mathrm{/}2$. Chẳng hạn, với $A(-2;-2;0)$ và $B(4;-2;0)$, ta có $I(1;-2;0)$ và $R=3$. Phương trình là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=9$. Điểm $M(1;-2;2)$ có $I{M}^2=4$ nên nằm trong. Điểm $N(1;-2;4)$ có $I{N}^2=16$ nên nằm ngoài.

Với phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, hoàn thành bình phương để đưa về dạng trên với $R^2=a^2+b^2+c^2-d$. Tập nghiệm là một mặt cầu khi $R^2>0$, một điểm khi $R^2=0$ và rỗng khi $R^2<0$. Trước khi dùng cách này, kiểm ba số hạng bình phương có cùng hệ số khác $0$ và không có số hạng tích như $xy$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I$ lên mặt phẳng $(P)$. Với mọi $M\in (P)$, định lí Pythagore cho $I{M}^2=I{H}^2+H{M}^2$. Nếu $IH<R$, điều kiện $IM=R$ xác định đường tròn tâm $H$, bán kính $\sqrt{R^2-I{H}^2}$. Nếu $IH=R$, chỉ $H$ thuộc cả mặt cầu và mặt phẳng. Nếu $IH>R$, hai hình không có điểm chung.

Chẳng hạn, mặt cầu tâm $I(1;-1;3)$, bán kính $5$ cắt mặt phẳng $z=0$ theo đường tròn tâm $H(1;-1;0)$. Ta có $IH=3$ nên bán kính đường tròn bằng $\sqrt{25-9}=4$. Điểm $M(5;-1;0)$ nằm trên đường tròn vì $HM=4$. Muốn lập mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với một mặt phẳng đã cho, tính $R=d(I,(P))$ và kiểm $R>0$.

Trong mô hình vùng phủ kín, thiết bị đặt tại $A$ với bán kính phủ $R$ có thể phục vụ các điểm $X$ thỏa $AX\le R$. Bất đẳng thức $A{X}^2\le R^2$ cho phép so sánh mà không cần lấy căn. Biên của vùng phủ thỏa $AX=R$.

Ví dụ, đặt thiết bị tại $A(-1;2;1)$ với $R=2$. Các điểm $P(-1;3;2)$, $Q(1;2;1)$ và $T(-1;4;2)$ cho $A{P}^2=2$, $A{Q}^2=4$ và $A{T}^2=5$. Do đó $P$ ở trong vùng phủ, $Q$ ở trên biên, còn $T$ ở ngoài. Khi chỉ xét các điểm nằm trong cùng một mặt phẳng cắt vùng phủ, dùng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng để xác định bán kính vùng phủ trong mặt phẳng đó.

Mô hình hóa Trái Đất bằng mặt cầu đơn vị. Chọn $Oz$ hướng đến cực Bắc, $Ox$ hướng qua giao điểm của xích đạo và kinh tuyến gốc, còn $Oy$ hướng về kinh độ ${90}^{\circ }$ Đông trên xích đạo. Dùng vĩ độ có dấu $\alpha$ (Bắc dương) và kinh độ có dấu $\beta$ (Đông dương), ta có Hình chiếu $H$ của $P$ xuống mặt phẳng xích đạo có $OH=\cos \alpha$. Khi $P$ không ở hai cực, kinh độ $\beta$ xác định hướng của $OH$ trong mặt phẳng xích đạo.

Nếu $\theta \in [0;\pi ]$ là góc ở tâm giữa hai vị trí, thì $\cos \theta =\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$ trên mặt cầu đơn vị. Với bán kính thật $R$, độ dài cung ngắn nhất bằng $R\theta$ khi $\theta$ tính bằng radian. Chẳng hạn, điểm $P$ ở ${45}^{\circ }$ Bắc, ${45}^{\circ }$ Đông có tọa độ $(1\mathrm{/}2;1\mathrm{/}2;\sqrt{2}\mathrm{/}2)$. Với cực Bắc $Q(0;0;1)$, góc $\widehat{POQ}$ bằng $\pi \mathrm{/}4$. Cung ngắn nhất dài $R\pi \mathrm{/}4$, còn dây cung trong không gian dài $R\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

Giả sử thiết bị $P(x;y;z)$ ở trên mặt cầu đơn vị. Ba mốc đã biết có tọa độ $A(2;0;0)$, $B(0;3;0)$ và $C(0;0;2)$. Mô hình giả định đã đo được $P{A}^2=11\mathrm{/}3$, $P{B}^2=6$ và $P{C}^2=7\mathrm{/}3$.

Do $x^2+y^2+z^2=1$, ta có $P{A}^2=5-4x$ và $P{B}^2=10-6y$. Hai số đo đầu lần lượt cho $x=1\mathrm{/}3$ và $y=2\mathrm{/}3$. Thế vào phương trình mặt cầu đơn vị cho $z^2=4\mathrm{/}9$, nên còn hai điểm $P_{\pm }(1\mathrm{/}3;2\mathrm{/}3;\pm 2\mathrm{/}3)$. Từ $P{C}^2=5-4z=7\mathrm{/}3$ suy ra $z=2\mathrm{/}3$. Kiểm lại $P_{+}$ thỏa phương trình mặt cầu và cả ba số đo. Các số đo ở đây là dữ kiện lý tưởng để luyện phép trừ hai phương trình mặt cầu và bước kiểm nghiệm.