Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Chương II – Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG II · ÔN TẬP CHƯƠNG II

Ôn vectơ và tọa độ bằng hai cách giải

Ghép vectơ trực tiếp trên hình, hoặc chuyển sang tọa độ để tìm điểm, tính góc và kiểm quan hệ trong không gian.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Kiểm đường chéo hình hộp
ABCDA′B′C′D′
Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hai mặt ABCD và A′B′C′D′ có các đỉnh tương ứng nối với nhau. Nét đứt biểu thị các cạnh khuất.
Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, đặt u⃗=AB→, v⃗=AD→ và w⃗=AA′→. Vì BC→=v⃗ và CC′→=w⃗, nối từ A qua B và C tới C′ cho AC′→=u⃗+v⃗+w⃗. Nếu biết tọa độ của ba vectơ cạnh, ta cộng theo từng thành phần để kiểm cùng kết quả.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

7 câu. Ghép vectơ và đọc các phép tính thành phần.

Nền tảng 2

7 câu. Tìm điểm, tính tích vô hướng và dùng điều kiện vectơ đối.

Vận dụng 1

6 câu. Kiểm trọng tâm, hiệu vectơ và đỉnh hình bình hành.

Vận dụng 2

6 câu. Dùng hình học không gian và mô hình độ dời.

Nâng cao 1

5 câu. Kiểm từng ý về hình hộp, tứ diện, góc và đường chéo.

Nâng cao 2

5 câu. Xét thẳng hàng, vuông góc và khoảng cách từ dữ kiện kết hợp.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn Bài 6 · Ôn Bài 7 · Ôn Bài 8 · Kho bài đọc Toán 12

Tổng vectơ và trọng tâm

Nối AB→ với BC→ để thu được AC→. Với trọng tâm G của tam giác ABC, ta có MA→+MB→+MC→=3MG→ tại mọi điểm M.

Tọa độ điểm và vectơ

Tính AB→ bằng tọa độ điểm cuối B trừ tọa độ điểm đầu A. Khi biết điểm đầu và vectơ, cộng từng thành phần để tìm điểm cuối.

Độ dài, góc và tích vô hướng

Bình phương độ dài là tổng bình phương ba thành phần. Tích vô hướng là tổng ba tích tương ứng. Với hai vectơ khác 0⃗, chia tích vô hướng cho tích hai độ dài để tìm cosin của góc.

Quan hệ hình học trong Oxyz

Dùng các vectơ cùng phương để xét thẳng hàng. Khi kiểm hai đường thẳng vuông góc, dùng hai vectơ chỉ phương khác 0⃗ và tích vô hướng bằng 0. Nhớ kiểm tọa độ đặc trưng của trục hoặc mặt phẳng đã cho.

Mô hình vị trí và độ dời

Ghi gốc, hướng các trục và đơn vị trước khi đọc dấu. Nếu P và Q là hai vị trí, độ dời là PQ→, còn khoảng cách là ∣PQ→∣.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Trọng tâm trong hình hộp

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Đặt u⃗=AB→, v⃗=AD→ và w⃗=AA′→. Gọi G là trọng tâm của tam giác A′BC. Biểu diễn AG→ theo u⃗,v⃗,w⃗. Gọi K là trung điểm C′A. Hỏi hai vectơ AG→ và AK→ có cùng phương không?
ABCDA′B′C′D′
Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hai mặt ABCD và A′B′C′D′ có các đỉnh tương ứng nối với nhau. Nét đứt biểu thị các cạnh khuất.
Mở gợi ý
Đặt gốc tại A. Viết ba vectơ vị trí của A′,B,C rồi lấy trung bình. So sánh tỉ số các hệ số của hai vectơ theo ba cạnh xuất phát từ A.
Xem lời giải và tự kiểm
Ta có 3AG→=AA′→+AB→+AC→=2u⃗+v⃗+w⃗, còn AK→=12(u⃗+v⃗+w⃗). Ba vectơ cạnh u⃗,v⃗,w⃗ không đồng phẳng nên các hệ số của mỗi cách biểu diễn là duy nhất. Nếu AG→=kAK→, thì thành phần theo u⃗ cho k=4/3, còn thành phần theo v⃗ cho k=2/3. Do đó hai vectơ không cùng phương.
  • Cộng đúng ba vectơ vị trí và chia ba.
  • Dùng trung điểm để viết AK.
  • Nêu vì sao được so sánh từng hệ số.

Bài 2 · Điểm trên trục và phép kiểm vuông góc

Cho A(0;2;−1), B(2;3;0) và C(4;1;3). Tìm trọng tâm G của tam giác ABC. Tìm N trên trục Oy sao cho AN⊥BC, rồi tính độ dài AN.
Mở gợi ý
Đặt N(0;t;0), rồi viết AN→ và BC→. Dùng tích vô hướng để tìm t.
Xem lời giải và tự kiểm
Ta có G(2;2;2/3). Vì AN→=(0;t−2;1) và BC→=(2;−2;3), điều kiện vuông góc cho −2(t−2)+3=0. Suy ra t=7/2. Hai vectơ đều khác vectơ không. Do đó N(0;7/2;0) và AN=(3/2)2+1=13/2.
  • Tọa độ trọng tâm là trung bình của ba đỉnh.
  • Điểm trên Oy có hoành độ và cao độ bằng không.
  • Sau khi giải, kiểm vectơ và độ dài AN.

Bài 3 · Dời camera trong phòng và kiểm giới hạn dây

Chọn gốc ở góc trần, Ox và Oy theo hai cạnh trần hướng vào phòng, Oz hướng xuống. Đơn vị là mét. Một camera cách hai tường tọa độ (Oyz) và (Oxz) lần lượt 2,4 m và 1,1 m, cách trần 0,5 m. Vị trí mới cách hai tường tương ứng 1,8 m và 1,9 m, cách trần 0,9 m. Tính vectơ độ dời và cho biết một dây nối thẳng dài 1,05 m có thể nối hai vị trí hay không. Bỏ qua các vật cản và phần dây dùng để buộc.
Mở gợi ý
Xét các khoảng cách lần lượt tới (Oyz),(Oxz),(Oxy). So sánh bình phương khoảng cách giữa hai vị trí với bình phương độ dài dây.
Xem lời giải và tự kiểm
Hai vị trí có tọa độ P(2,4;1,1;0,5) và Q(1,8;1,9;0,9). Ta có PQ→=(−0,6;0,8;0,4) và PQ2=0,36+0,64+0,16=1,16. Bình phương độ dài dây là 1,052=1,1025, nhỏ hơn PQ2. Vậy dây không đủ dài.
  • Gán đúng từng khoảng cách vào tọa độ tương ứng.
  • Tính độ dời theo thứ tự mới trừ cũ.
  • So sánh hai đại lượng cùng đơn vị trước khi kết luận.