Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Thực hành đồ họa 3D – Tam giác Penrose và mặt Möbius

TOÁN 12 · TẬP HAI · CHƯƠNG V · THỰC HÀNH ĐỒ HỌA 3D

Xoay mô hình 3D và kiểm tra điều em nhìn thấy

Dựng ba lăng trụ để quan sát tam giác Penrose, sau đó tạo mặt Möbius và theo dõi hai đầu dải khi ghép ngược.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Dựng hình với GeoGebra 3D

Mở GeoGebra 3D

Dựng ba thanh vuông góc trong GeoGebra 3D

Mở vùng đồ họa 3D của GeoGebra. Dùng giao diện tiếng Anh để nhập từng dòng lệnh bên dưới. Trước hết, đặt A(0;0;0), B(0;0;6), C(6;0;6) và D(6;6;6). Ba đoạn AB, BC, CD có cùng độ dài 6 và lần lượt theo phương Oz, Ox, Oy. Sau đó, dựng một hình vuông cạnh 1 ở đầu mỗi đoạn rồi kéo thành lăng trụ đứng theo đoạn tương ứng. Trong lệnh Prism có một đa giác và một điểm, điểm thứ hai chỉ đỉnh trên tương ứng với đỉnh đầu tiên của đa giác. Kiểm hướng kéo bằng cách trừ tọa độ đỉnh đầu của đáy khỏi tọa độ điểm ấy. Ba khối là mô hình tọa độ để khảo sát cơ chế góc nhìn trong hoạt động Penrose của SGK.
A=(0,0,0)
B=(0,0,6)
C=(6,0,6)
D=(6,6,6)
Segment(A,B)
Segment(B,C)
Segment(C,D)
baseA=Polygon((-0.5,-0.5,0),(0.5,-0.5,0),(0.5,0.5,0),(-0.5,0.5,0))
barA=Prism(baseA,(-0.5,-0.5,6))
baseB=Polygon((0,-0.5,5.5),(0,0.5,5.5),(0,0.5,6.5),(0,-0.5,6.5))
barB=Prism(baseB,(6,-0.5,5.5))
baseC=Polygon((5.5,0,5.5),(6.5,0,5.5),(6.5,0,6.5),(5.5,0,6.5))
barC=Prism(baseC,(5.5,6,5.5))

Đổi góc nhìn để kiểm tra hình Penrose

Chọn phép chiếu song song trong vùng 3D. Trước tiên, quan sát các đoạn trục, có thể ẩn các khối và đa giác phụ để thấy rõ đầu mút. Đặt hướng nhìn song song với (1;1;1). Hai điểm A,D có cùng ảnh vì AD→=(6;6;6) cùng phương với hướng chiếu. Khi đó ba đoạn ảnh khép thành một tam giác. Sau đó đổi hướng nhìn sang phương (2;1;1). Vì AD→ không cùng phương với hướng mới, hai ảnh tách ra. Hãy bật lại các khối, đổi màu các mặt và quan sát sự che khuất trong từng góc nhìn, như thao tác chọn mặt ở SGK. Khoảng cách thật AD=63 giữ nguyên khi quay hình.
A, DBCABCDHai đầu chồng hình chiếuHai đầu tách nhau
Hai hình dùng cùng các điểm A,B,C,D. Nét đứt đánh dấu trục của từng lăng trụ.
SetViewDirection(Vector((-1,-1,-1)))
SetViewDirection(Vector((2,1,1)))

Dựng mặt Möbius và vẽ đường giữa

Mở một hình 3D mới rồi nhập lệnh Surface bên dưới. Lệnh dùng hai tham số u và v, với 0≤u≤2π, −1≤v≤1. Gọi điểm dựng được là F(u,v). Khi giữ v=0, ta có F(u,0)=(cos⁡u;sin⁡u;0), nên đường giữa của dải là một đường tròn đơn vị. Khi giữ u=π, ta có F(π,v)=(−1;0;v/2). Đoạn ngang bề rộng ở mốc này song song với Oz, còn ở u=0 đoạn ngang bề rộng song song với Ox. Hãy xoay hình để nhận ra sự đổi phương. Dùng phần Thiết lập đối tượng để đổi màu hoặc độ trong suốt cho dễ quan sát.
ST
Hai màu giúp theo dõi hai lượt đi dọc mép. Chúng nối nhau tại S và T thành một đường biên khép kín.
strip=Surface((1+(v/2)*cos(u/2))*cos(u),(1+(v/2)*cos(u/2))*sin(u),(v/2)*sin(u/2),u,0,2*pi,v,-1,1)
mid=Curve(cos(t),sin(t),0,t,0,2*pi)

Kiểm mối nối và lần theo biên của dải

Tại hai đầu của miền tham số, F(0,v)=(1+v/2;0;0) và F(2π,v)=(1−v/2;0;0). Do đó F(2π,v)=F(0,−v). Hai mép tham số u=0 và u=2π gặp nhau trên cùng đoạn trong không gian theo thứ tự đảo ngược. Vết màu hoặc đường lưới trên màn hình có thể làm lộ mối nối tham số. Để xác định biên hình học của dải, hãy theo v=1 tới u=2π. Từ đó em trở về điểm có tham số (0,−1), rồi theo mép v=−1 tới điểm ban đầu. Lệnh Curve dưới đây dùng một tham số từ 0 đến 4π để đi liền cả hai phần. Kiểm ba mốc đầu, giữa và cuối của đường này. Biên của dải có một thành phần liên thông.
rim=Curve((1+0.5*cos(t/2))*cos(t),(1+0.5*cos(t/2))*sin(t),0.5*sin(t/2),t,0,4*pi)

Tự kiểm sau khi xoay hình

Với mô hình Penrose, hãy lưu hai góc nhìn của cùng một bộ khối. Ghi rõ cặp điểm có ảnh trùng và kiểm khoảng cách giữa hai điểm từ tọa độ. Với mặt Möbius, hãy xem dải từ hai phía và đối chiếu F(0,1) với F(2π,−1). Nếu GeoGebra hiện số gần đúng, dùng các giá trị lượng giác tại 0, π và 2π để kiểm đẳng thức chính xác. Cuối cùng, giải thích bằng một câu vì sao đổi góc nhìn có thể làm lộ khe hở giữa hai hình chiếu Penrose, còn đẳng thức F(0,1)=F(2π,−1) của mặt Möbius đúng ở mọi góc nhìn.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Hai điểm có thể chồng hình chiếu
Trong phép chiếu vuông góc theo phương (1;0;0) lên mặt phẳng x=0, hai điểm (2;1;3) và (5;1;3) cùng chiếu thành (0;1;3). Khoảng cách giữa hai điểm ban đầu vẫn bằng 3.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

5 câu. Đọc tọa độ, tham số và các lệnh dựng hình.

Ví dụ chọn lệnh theo loại đối tượng
Dùng Polygon để tạo đa giác đáy và Prism để dựng khối lăng trụ từ đáy và một đỉnh tương ứng. Mở danh sách đối tượng trong GeoGebra để kiểm đã có đủ cả ba khối.

Vận dụng

5 câu. Thay đổi góc nhìn, đối chiếu hình chiếu và mép dải.

Ví dụ thử lại từ góc khác
Với P(0;0;0) và Q(2;0;0), nhìn dọc trục Ox trong chế độ chiếu song song cho hai hình chiếu trùng nhau. Nhìn dọc trục Oz cho hai hình chiếu khác nhau.

Nâng cao

5 câu. Kiểm bằng vectơ và tham số vì sao hình hiển thị có các tính chất đã quan sát.

Ví dụ so sánh từng tọa độ ở chỗ ghép
Với mặt tham số trong phần hướng dẫn, F(0,v)=(1+v/2;0;0) và F(2π,v)=(1−v/2;0;0). Thay v bằng −v ở công thức thứ nhất để kiểm điều kiện ghép.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Xem lại lệnh dựng hình · Ôn tọa độ trong không gian

Kiểm đáy và đỉnh tương ứng

Đáy của mỗi lăng trụ là hình vuông vuông góc với đoạn trục. Vectơ từ đỉnh đầu tiên của đáy đến đỉnh tương ứng ở đáy còn lại bằng vectơ dọc theo đoạn trục.

So sánh hiệu tọa độ với phương chiếu

Trong chiếu vuông góc theo phương d⃗≠0⃗, hai điểm có cùng hình chiếu khi vectơ nối chúng cùng phương với d⃗ hoặc bằng 0⃗.

Nhập đủ hai tham số

Trong lệnh Surface, nhập ba biểu thức tọa độ, rồi lần lượt khai báo tên và khoảng chạy của u và v. Với mô hình này, u chạy từ 0 đến 2π còn v chạy từ −1 đến 1.

Thử hai đầu của khoảng chạy

So sánh F(0,v) với F(2π,−v). Khi đi theo mép v=1 đến u=2π, điểm cuối gặp mép v=−1 tại u=0. Đi hết mép thứ hai mới về vị trí ban đầu.

Dùng phép tính và thao tác xoay để kiểm

Ghi lại dữ kiện nào phụ thuộc góc nhìn. Với Penrose, kiểm vectơ nối hai đầu. Với Möbius, kiểm tọa độ ở chỗ ghép và lần theo mép để xác định đường biên.

Bài thực hành và tự kiểm

Dựng hình hoặc viết lập luận, rồi đối chiếu theo từng bước.

Bài 1 · Đổi chiều dài của ba thanh

Trong GeoGebra 3D, dựng chuỗi A(0;0;0), B(0;0;3), C(3;0;3), D(3;3;3) và nối lần lượt AB,BC,CD. (a) Dự đoán ảnh của A,D khi chiếu vuông góc theo hướng (1;1;1) và (2;1;1). (b) Kiểm bằng hai góc nhìn. (c) Tính độ dài AD và giải thích vì sao khoảng cách trên ảnh có thể bằng 0.
Mở gợi ý
So sánh AD→ với hai hướng. Trên phần mềm, dùng chế độ chiếu vuông góc trước khi đổi hướng.
Xem lời giải và tự kiểm
Ta có AD→=(3;3;3). Vì vectơ này song song với (1;1;1), ảnh của A,D trùng ở hướng thứ nhất. Vectơ này không song song với (2;1;1), nên ảnh tách ở hướng thứ hai. Mô hình trong cửa sổ 3D cho phép quan sát cả hai trường hợp. Trong không gian, AD=27=33. Ở hướng thứ nhất, toàn bộ đoạn AD nằm trên một đường chiếu nên hai đầu có cùng ảnh.
  • So sánh tọa độ A,D trong bảng Đại số.
  • Thực hiện cả hai hướng chiếu và ghi lại điều quan sát được.
  • Kiểm lại AD2=27 bằng công thức khoảng cách.

Bài 2 · Theo một đường biên trọn vòng trên dải Möbius

Với mô hình dải Möbius, đặt F(u,v)=((1+v2cos⁡u2)cos⁡u, (1+v2cos⁡u2)sin⁡u, v2sin⁡u2), trong đó 0≤u≤2π và −1≤v≤1. (a) Kiểm F(2π,v)=F(0,−v) cho mọi v∈[−1,1]. (b) Dùng đường R(t) xác định bằng công thức F(t,1) với 0≤t≤4π, rồi tính R(0),R(2π),R(4π). (c) Dựng R trên mô hình và giải thích vì sao hai mép tham số nằm trên cùng một đường biên.
Mở gợi ý
Để so sánh nửa sau với mép v=−1, đặt t=u+2π và tính cos⁡(t/2),sin⁡(t/2) theo u.
Xem lời giải và tự kiểm
Ta có F(0,v)=(1+v2;0;0) và F(2π,v)=(1−v2;0;0). Suy ra F(2π,v)=F(0,−v). Trên đường R, ta có R(0)=(32;0;0), R(2π)=(12;0;0) và R(4π)=R(0). Vì R(u+2π)=F(u,−1) với 0≤u≤2π, nửa đầu của R đi theo mép v=1 và nửa sau đi theo mép v=−1. Hai nửa nối tiếp nhau tại R(2π) và khép kín tại R(4π).
  • Thế cả v=1 và v=−1 để thấy hai đầu mép đổi vai trò.
  • Kiểm ba điểm mốc cả bằng công thức và bằng bảng Đại số.
  • Xoay hình và theo đường biên qua mối ghép.

Bài 3 · So sánh mối ghép của dải Möbius và mặt trụ

Với mô hình dải Möbius, đặt F(u,v)=((1+v2cos⁡u2)cos⁡u, (1+v2cos⁡u2)sin⁡u, v2sin⁡u2), trong đó 0≤u≤2π và −1≤v≤1. Xét thêm mặt trụ G(u,v)=(cos⁡u,sin⁡u,v/2) với cùng miền tham số. (a) Tính G(0,v) và G(2π,v) rồi so sánh cách ghép với F. (b) Tính số đường biên của mỗi mô hình. (c) Dựng riêng hai mép của mặt trụ, đổi góc nhìn và giải thích vì sao trong một ảnh nhìn dọc theo Oz có thể thấy chúng trùng nhau.
Mở gợi ý
Với mặt trụ, hai mép v=1 và v=−1 nằm ở hai cao độ khác nhau. Với dải Möbius, xét điểm cuối của mép v=1.
Xem lời giải và tự kiểm
Trên mặt trụ, G(0,v)=G(2π,v)=(1;0;v/2) nên hai đầu miền tham số ghép theo cùng giá trị v. Với dải Möbius, F(2π,v)=F(0,−v) nên chúng ghép với dấu của v đổi. Hai mép mặt trụ là hai đường tròn riêng biệt tại z=1/2 và z=−1/2. Hai mép tham số của dải Möbius nối tiếp nhau thành một đường biên, vì mỗi mép kết thúc ở điểm bắt đầu của mép kia. Khi nhìn dọc Oz, hai đường tròn của mặt trụ có cùng ảnh trên Oxy vì các điểm tương ứng có cùng x,y.
  • Theo dõi dấu của v tại mỗi mối ghép.
  • Kiểm cao độ của hai mép mặt trụ.
  • Xoay về góc nhìn xiên và xác nhận hai đường tròn hiện tách nhau.