Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Chương V – Phương pháp tọa độ trong không gian

TOÁN 12 · TẬP HAI · CHƯƠNG V · ÔN TẬP CHƯƠNG V

Chọn đúng phương pháp trong không gian Oxyz

Ôn phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu qua hình chiếu, góc, thiết diện và bài toán quan sát từ một điểm ngoài mặt cầu.

Nhớ tiến độ trên thiết bị này

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Cách làm và ví dụ

Hình chiếu lên mặt phẳng

Cho

(P) : x + 2 y + 2 z = 9

. Để tìm hình chiếu

H

của gốc

I (0; 0; 0)

, viết

H = (t; 2 t; 2 t)

theo phương pháp tuyến

(1; 2; 2)

. Thế vào phương trình mặt phẳng được

9 t = 9

, nên

H (1; 2; 2)

và

I H = 3

H i n (P)

và

o v e r r i g h t a r r o w I H

cùng phương với pháp tuyến của

(P)

Giao điểm và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Cho

X (t) = (1 + t; 2 - t; 3 - 2 t)

và

(P) : z = 0

. Giải

3 - 2 t = 0

được

t = 3 / 2

, nên giao điểm là

H (5 / 2; 1 / 2; 0)

. Với

\vec{u} = (1; - 1; - 2)

và

\vec{n} = (0; 0; 1)

, góc

α

giữa đường thẳng và

(P)

thỏa

\sin α = 2 / \sqrt{6}

Giải phương trình giao điểm để xác định

H

trước khi xét góc.

Tìm tâm và bán kính đường tròn giao tuyến

Mặt cầu tâm

I (0; 0; 3)

bán kính

5

cắt mặt phẳng

z = 0

. Hình chiếu

H (0; 0; 0)

của

I

là tâm đường tròn giao tuyến. Với

A

trên giao tuyến, tam giác

I H A

vuông tại

H

, nên

H A = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4

Tam giác

I H A

vuông tại

H

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Dùng một điểm để kiểm phương trình

Mặt phẳng qua

A (1; 0; 1)

nhận

\vec{n} = (2; 1; - 1)

làm vectơ pháp tuyến. Phương trình là

2 (x - 1) + y - (z - 1) = 0

, hay

2 x + y - z - 1 = 0

. Thế tọa độ

A

vào vế trái được

0

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

4 câu. Đọc vectơ, lập mặt phẳng và chuyển dạng phương trình.

Ví dụ đọc hai vectơ khác vai trò

Đường thẳng

X (t) = (0; 1; 2) + t (2; - 1; 3)

có vectơ chỉ phương

(2; - 1; 3)

. Mặt phẳng

2 x - y + 3 z = 0

có vectơ pháp tuyến cùng tọa độ, nên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.

Nền tảng 2

4 câu. Xét góc, giao điểm và các dữ kiện của mặt cầu.

Vận dụng 1

4 câu. Nối các bước tính từ phương trình đến kết quả hình học.

Ví dụ tìm thiết diện

Mặt cầu bán kính

5

có tâm cách mặt phẳng

3

. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn bán kính

\sqrt{25 - 9} = 4

Vận dụng 2

3 câu. Đọc tọa độ và các đại lượng trong bài toán thực tế.

Nâng cao 1

4 câu. Kiểm từng nhận định trong bài toán hình chiếu, giao tuyến và mặt cầu.

Ví dụ kiểm một điểm có phải tiếp điểm

Với mặt cầu tâm

O

bán kính

2

, điểm

A (2; 0; 0)

thuộc mặt cầu. Điểm

B (2; 3; 0)

thỏa

\vec{O A} \cdot \vec{A B} = 0

, nên

B A

tiếp xúc mặt cầu tại

A

Nâng cao 2

3 câu. Xử lý dữ kiện góc và mô hình đường chân trời.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn phương trình mặt phẳng · Ôn phương trình đường thẳng · Ôn công thức tính góc · Ôn phương trình mặt cầu

Tìm vectơ pháp tuyến và một điểm

Nếu mặt phẳng đi qua

A

và chứa hai vectơ chỉ phương không cùng phương

\vec{u}, \vec{v}

, tích có hướng

\vec{u} \times \vec{v}

là một vectơ pháp tuyến. Dùng

\vec{n} \cdot \vec{A X} = 0

rồi thay tọa độ một điểm đã biết để kiểm.

Tách vectơ chỉ phương và điểm đi qua

Viết

X (t) = A + t \vec{u}

. Để xét giao với mặt phẳng, thế

X (t)

vào phương trình mặt phẳng. Khi hệ số của

t

bằng

0

, xét tiếp số hạng tự do để phân biệt đường thẳng nằm trong mặt phẳng hay song song với mặt phẳng.

Dùng đúng tích vô hướng và chuẩn vectơ

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có sin bằng

∣ \vec{u} \cdot \vec{n} ∣ / (∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{n} ∥)

. Với

(P) : a x + b y + c z + d = 0

, khoảng cách từ

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

đến

(P)

là

∣ a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d ∣ / \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

Đọc tâm và so sánh khoảng cách với bán kính

Gọi

H

là hình chiếu của tâm

I

lên mặt phẳng. So sánh

I H

với

R

. Nếu

I H < R

, đường tròn giao tuyến có tâm

H

và bán kính

\sqrt{R^{2} - I H^{2}}

Đặt phương trình rồi kiểm lại ý nghĩa

Nếu

B

ở ngoài mặt cầu tâm

O

bán kính

R

, tiếp điểm

T

thỏa

O T = R

và

O T ⊥ B T

. Khi

O

là gốc tọa độ, điều kiện vuông góc cho

\vec{O B} \cdot \vec{O T} = R^{2}

. Kiểm cả hai phương trình và các đơn vị trước khi kết luận.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Mặt phẳng qua ba điểm và hình chiếu của gốc tọa độ

Cho

A (1; 0; 1)

B (3; 1; 1)

C (1; 2; 3)

. (a) Lập phương trình mặt phẳng

(P) = (A B C)

. (b) Tìm hình chiếu vuông góc

H

của

O

lên

(P)

và tính

O H

. (c) Viết phương trình mặt phẳng

(Q)

chứa

A B

và vuông góc với

(P)

Mở gợi ý

Tính

\vec{A B} \times \vec{A C}

. Trong (b), đường thẳng

O H

có vectơ chỉ phương là pháp tuyến của

(P)

. Trong (c), pháp tuyến của

(Q)

vuông góc với

\vec{A B}

và với pháp tuyến của

(P)

Xem lời giải và tự kiểm

(a) Từ

\vec{A B} = (2; 1; 0)

và

\vec{A C} = (0; 2; 2)

suy ra có thể lấy pháp tuyến

{\vec{n}}_{P} = (1; - 2; 2)

. Vì

A \in (P)

, phương trình là

x - 2 y + 2 z - 3 = 0

. (b) Đặt

H (t; - 2 t; 2 t)

. Điều kiện

H \in (P)

cho

9 t = 3

nên

H (1 / 3; - 2 / 3; 2 / 3)

và

O H = 1

. (c) Tích

\vec{A B} \times {\vec{n}}_{P} = (2; - 4; - 5)

là pháp tuyến của

(Q)

. Thế tọa độ

A

được

(Q) : 2 x - 4 y - 5 z + 3 = 0

Thế $A, B, C$ vào phương trình $(P)$ .
Kiểm tra $\vec{O H}$ cùng phương với ${\vec{n}}_{P}$ và $H \in (P)$ .
Thế $A, B$ vào $(Q)$ và kiểm tra ${\vec{n}}_{Q} \cdot {\vec{n}}_{P} = 0$ .

Bài 2 · Thiết diện qua một họ mặt phẳng ngang

Mặt cầu

(S)

có đường kính

A B

với

A (0; 0; 1)

và

B (6; 8; 1)

. (a) Viết phương trình

(S)

. (b) Tìm mọi

k \in R

sao cho mặt phẳng

z = k

cắt

(S)

theo đường tròn bán kính

4

. (c) Với

k = 4

, tìm hai đầu mút của đường kính thiết diện song song với

O x

Mở gợi ý

Dùng trung điểm và độ dài đoạn

A B

để xác định mặt cầu. Với mặt phẳng

z = k

, khoảng cách từ tâm mặt cầu là

∣ 1 - k ∣

. Tâm đường tròn nằm trên đường vuông góc qua tâm mặt cầu.

Xem lời giải và tự kiểm

(a) Ta có

I (3; 4; 1)

và

R = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} / 2 = 5

. Vậy

(S) : (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} = 25

. (b) Bán kính thiết diện bằng

4

khi

(k - 1)^{2} = 25 - 16 = 9

. Do đó

k = - 2

hoặc

k = 4

. (c) Thế

z = 4

được đường tròn tâm

(3; 4; 4)

, bán kính

4

. Hai đầu mút đường kính song song

O x

là

(- 1; 4; 4)

và

(7; 4; 4)

Kiểm tra $I A = I B = 5$ và $I$ là trung điểm $A B$ .
Thế cả hai giá trị $k$ để kiểm tra bán kính thiết diện.
Hai đầu mút cùng tung độ và cao độ, có hoành độ chênh nhau $8$ .

Bài 3 · Đường chân trời với người quan sát ngoài trục đứng

Trong mô hình mặt cầu tâm

O

, bán kính

3

, người quan sát ở

B (3; 4; 0)

. Điểm

T

trên đường chân trời thỏa

O T = 3

và

O T ⊥ B T

. (a) Chứng minh các điểm

T

tạo thành thiết diện của mặt cầu với mặt phẳng

3 x + 4 y = 9

. (b) Tìm tâm

H

và bán kính đường tròn. (c) Tính khoảng cách từ

B

đến một điểm bất kì trên đường chân trời.

Mở gợi ý

Viết

\vec{T B} = \vec{O B} - \vec{O T}

. Tìm

H

bằng giao của

O B

với mặt phẳng thiết diện. Sau đó áp dụng định lý Pythagore hai lần.

Xem lời giải và tự kiểm

(a) Với

T (x; y; z)

thuộc mặt cầu,

O T ⊥ B T

tương đương

\vec{O T} \cdot (\vec{O B} - \vec{O T}) = 0

, tức

3 x + 4 y = 9

. Điều kiện này cũng đủ nên quỹ tích là toàn bộ thiết diện. (b) Pháp tuyến

(3; 4; 0)

cùng phương với

O B

. Từ

H = (3 t; 4 t; 0)

và

25 t = 9

suy ra

H (27 / 25; 36 / 25; 0)

O H = 9 / 5 < 3

. Bán kính thiết diện là

\sqrt{9 - (9 / 5)^{2}} = 12 / 5

. (c) Tam giác

O T B

vuông tại

T

có

O B = 5

và

O T = 3

, nên

B T = 4

Kiểm tra cả hai chiều giữa điều kiện vuông góc và phương trình mặt phẳng với giả thiết $T$ thuộc mặt cầu.
Kiểm tra $H$ thuộc mặt phẳng và $O H ⊥ (3 x + 4 y = 9)$ .
Kiểm tra $O H^{2} + (12 / 5)^{2} = 3^{2}$ và $O T^{2} + B T^{2} = O B^{2}$ .

Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Chương V – Phương pháp tọa độ trong không gian

Chọn đúng phương pháp trong không gian Oxyz

Cách làm và ví dụ

Hình chiếu lên mặt phẳng

Giao điểm và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Tìm tâm và bán kính đường tròn giao tuyến

Chọn chặng

Chẩn đoán nhanh

Nền tảng 1

Nền tảng 2

Vận dụng 1

Vận dụng 2

Nâng cao 1

Nâng cao 2

Luyện lại

Tổng kết

Nhận xét theo kỹ năng

Đọc lại kiến thức

Tìm vectơ pháp tuyến và một điểm

Tách vectơ chỉ phương và điểm đi qua

Dùng đúng tích vô hướng và chuẩn vectơ

Đọc tâm và so sánh khoảng cách với bán kính

Đặt phương trình rồi kiểm lại ý nghĩa

Tự luận trên giấy

Bài 1 · Mặt phẳng qua ba điểm và hình chiếu của gốc tọa độ

Bài 2 · Thiết diện qua một họ mặt phẳng ngang

Bài 3 · Đường chân trời với người quan sát ngoài trục đứng