Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Bài 1 – Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG I

Từ dấu đạo hàm đến cực trị

Đọc đồ thị, xét miền xác định và giải thích vì sao hàm số đổi chiều. Dùng kết quả để phân tích mức tăng và tốc độ tăng trong mô hình.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Từ dấu đạo hàm đến cực trị
Với f(x)=x3−3x, ta có f′(x)=3(x−1)(x+1). Bên trái −1 và bên phải 1, đạo hàm dương. Giữa hai nghiệm, đạo hàm âm. Vì vậy, f đạt cực đại tại x=−1 và cực tiểu tại x=1. Thế vào hàm số để được hai giá trị cực trị là 2 và −2.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

7 câu. Đọc đồ thị, xét dấu và nhận biết các điểm cần kiểm tra.

Nền tảng 2

7 câu. Xét miền, tìm cực trị và diễn giải kết quả.

Vận dụng

8 câu. Chuyển giữa đồ thị, công thức và bài toán thực tế.

Nâng cao

5 câu. Xét tham số, điểm không khả vi và tốc độ tăng trưởng.

Luyện lại

6 câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn dấu đạo hàm · Ôn tiêu chuẩn cực trị

Đọc đồ thị của hàm số

Đi theo trục hoành từ trái sang phải. Trên một khoảng, nếu x1<x2 luôn dẫn đến f(x1)<f(x2) thì hàm số đồng biến ở đó. Với chiều bất đẳng thức ngược lại, hàm số nghịch biến. Đọc hoành độ để ghi khoảng, rồi đọc tung độ nếu đề hỏi giá trị.

Từ đạo hàm đến khoảng đơn điệu

Tìm miền xác định trước. Trên một khoảng, f′(x)>0 cho chiều đồng biến và f′(x)<0 cho chiều nghịch biến. Nếu f′ cùng dấu và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng, chiều đơn điệu vẫn giữ nguyên. Kiểm dấu ở mỗi phía của điểm dừng.

Xác định miền trước khi xét dấu

Loại nghiệm làm mẫu số bằng 0 và giữ các điểm mà biểu thức dưới dấu căn bậc hai không âm. Tách các khoảng theo miền xác định. Dấu đạo hàm giống nhau ở hai phía của một điểm bị loại vẫn chỉ cho phép kết luận trên từng khoảng.

Đọc đồ thị của đạo hàm

Đồ thị y=f′(x) nằm trên trục hoành khi f′(x)>0 và nằm dưới khi f′(x)<0. Đọc dấu của tung độ. Khi f′ đổi dấu qua một điểm và f liên tục ở đó, có thể xác định loại cực trị của f.

Điểm cực trị và giá trị cực trị

Giả sử f liên tục tại x0 và khả vi trên hai khoảng kề x0. Nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại. Nếu đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu. Điểm không khả vi vẫn có thể là điểm cực trị theo định nghĩa. Phân biệt hoành độ x0, giá trị f(x0) và điểm (x0;f(x0)) trên đồ thị.

Mức tăng và tốc độ tăng

Nếu N(t) là số lượng tại thời điểm t thì N′(t) là tốc độ biến thiên. Khi tìm thời điểm tốc độ lớn nhất, xét chính N′, đối chiếu miền thời gian và kiểm đầu mút nếu có. Khi tìm mức giới hạn của số lượng, xét giới hạn của N và diễn giải theo đơn vị ban đầu.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Phân thức · Miền xác định và điểm cực trị

Cho f(x)=x2−6x+13x−3. Xác định các khoảng đơn điệu, hoành độ và giá trị các cực trị. Giải thích vì sao không thể kết luận hàm nghịch biến trên [1,5].
Mở gợi ý
Viết tử dưới dạng (x−3)2+4. Khi lập bảng dấu, đánh dấu riêng điểm bị loại và các nghiệm của đạo hàm.
Xem lời giải và tự kiểm
Tập xác định là R∖{3}. Vì f(x)=x−3+4/(x−3) nên f′(x)=1−4/(x−3)2. Đạo hàm dương trên (−∞,1) và (5,+∞), âm trên (1,3) và (3,5). Hàm đạt cực đại tại 1, với f(1)=−4, và cực tiểu tại 5, với f(5)=4. Vì 3∈[1,5] nhưng 3 không thuộc tập xác định nên không thể kết luận hàm nghịch biến trên toàn đoạn đó.
  • Nêu tập xác định trước khi xét dấu.
  • Tách hai khoảng âm ở x=3.
  • Nêu cả hoành độ và giá trị của mỗi cực trị.
  • Giải thích bằng điểm 3 bị loại.

Bài 2 · Tăng trưởng · Kiểm tra thời điểm đạt tốc độ lớn nhất

Trong một mô hình, lượng đăng ký tích lũy là N(t)=9001+4e−t với t≥0 tính bằng tháng. Tìm thời điểm tốc độ tích lũy lớn nhất và tốc độ đó. Nếu thời gian quan sát chỉ là 0≤t≤1, xác định thời điểm tốc độ lớn nhất trong giai đoạn này. Nêu đơn vị.
Mở gợi ý
Đặt u=4e−t. Chặn u/(1+u)2 bằng (u−1)2≥0. Sau đó kiểm điểm đạt dấu bằng có thuộc giai đoạn quan sát hay không.
Xem lời giải và tự kiểm
Ta có N′(t)=900u/(1+u)2 với u=4e−t. Vì (u−1)2≥0 nên N′(t)≤225, dấu bằng đúng khi u=1, tức t=ln⁡4 tháng. Tốc độ lớn nhất trên miền t≥0 là 225 lượt đăng ký mỗi tháng. Trên [0,1], ta có u>1. Đạo hàm của u/(1+u)2 theo u bằng (1−u)/(1+u)3<0. Vì u giảm theo t, tốc độ tăng theo t trên đoạn này và lớn nhất tại t=1 tháng.
  • Xác định đúng đạo hàm theo thời gian và đơn vị.
  • Chỉ ra điều kiện đạt dấu bằng khi chặn tốc độ.
  • Kiểm ln⁡4>1 trước khi kết luận trên giai đoạn quan sát.
  • Nêu căn cứ cho tốc độ tăng trên [0,1].