Cực trị hàm số lớp 12: định nghĩa, đổi dấu và miền xét

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Cực trị mô tả giá trị lớn hoặc nhỏ so với các điểm gần, còn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất so với toàn miền xét. Đạo hàm bằng 0 chỉ cho điểm cần kiểm tra, chưa tự chứng minh có cực trị.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Cực trị là tính chất địa phương

Trong bài này dùng cực trị nghiêm tại điểm trong miền: $f$ cực đại tại $x_0$ nếu có $\delta>0$ sao cho $f(x)<f(x_0)$ với $0<|x-x_0|<\delta$; cực tiểu đổi chiều bất đẳng thức. Lân cận này nằm trong miền đang xét. Hoành độ cực trị là $x_0$, giá trị cực trị là $f(x_0)$, điểm cực trị của đồ thị là $(x_0;f(x_0))$.

Khi bài giới hạn trên đoạn $[a;b]$, chỉ đếm cực trị nội tại ở $(a;b)$ theo quy ước trên. Đầu mút vẫn phải xét khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn. Theo định nghĩa tương đối trên một tập, đầu mút có thể được gọi là cực trị một phía; cần nêu quy ước để tránh hai cách đếm khác nhau.

2. Tiêu chuẩn đạo hàm và giả thiết

Nếu $f$ có cực trị tại một điểm trong miền và khả vi ở đó, định lý Fermat cho $f^{\prime}(x_0)=0$. Chiều ngược sai, chẳng hạn $x^3$ có đạo hàm $0$ tại $0$ nhưng tăng qua điểm ấy. Hàm cũng có thể có cực trị tại điểm không khả vi, như $|x|$ tại $0$.

Để dùng phép thử dấu, giả sử $f$ liên tục tại $x_0$ và khả vi ở hai phía trong một lân cận bỏ điểm. Nếu đạo hàm dương bên trái, âm bên phải thì cực đại; nếu âm rồi dương thì cực tiểu. Điều này theo tính đơn điệu ở mỗi phía và tính liên tục tại điểm. Nếu đạo hàm cùng dấu hai phía thì không có cực trị. Không bỏ điều kiện liên tục khi ghép hai nhánh.

3. Năm ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hoàn thành bình phương

Với $f(x)=x^2-x+1$, ta có $f(x)=(x-1/2)^2+3/4\ge3/4$, đẳng thức chỉ tại $x=1/2$. Vì vậy có cực tiểu tại $1/2$, giá trị $3/4$, điểm đồ thị $(1/2;3/4)$. Trong trường hợp này giá trị cực tiểu còn là giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb R$.

Ví dụ 2. Cực đại bằng bất đẳng thức

Cho $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$, miền $[1;2]$. Đặt $u=\sqrt{x-1}$, $v=\sqrt{2-x}$; $u,v\ge0$, $u^2+v^2=1$. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz cho $u+v\le\sqrt2$. Đẳng thức khi $u=v$, tức $x=3/2$. Do đó $f(x)\le f(3/2)=\sqrt2$, với dấu nghiêm nếu $x\ne3/2$, nên có cực đại tại $3/2$.

Ví dụ 3. Dùng đạo hàm cho hàm bậc hai

Vẫn với $f(x)=x^2-x+1$, đạo hàm $2x-1$ âm trước $1/2$, dương sau $1/2$. Hàm liên tục nên phép thử dấu xác nhận cực tiểu $(1/2;3/4)$, khớp cách giải ở ví dụ 1.

Ví dụ 4. Dùng đạo hàm cho tổng hai căn

Với hàm ở ví dụ 2, đạo hàm chỉ tính trong $(1;2)$:

Nó bằng $0$ tại $3/2$, dương khi $1<x<3/2$ và âm khi $3/2<x<2$. Vì hàm liên tục, có cực đại tại $3/2$, giá trị $\sqrt2$. Các giá trị ở hai đầu là $f(1)=f(2)=1$; hai đầu không đếm là cực trị nội tại theo quy ước của bài.

Ví dụ 5. Miền xét là một đoạn

Cho $f(x)=x^3-3x^2+1$ trên $[0;4]$. Đạo hàm $f^{\prime}=3x(x-2)$ bằng $0$ tại $0,2$. Trong đoạn chỉ $2$ là điểm trong; đạo hàm âm trên $(0;2)$ và dương trên $(2;4)$. Vì vậy có một cực tiểu nội tại tại $2$, giá trị $f(2)=-3$, không có cực đại nội tại.

Nếu xét hàm trên toàn $\mathbb R$, đạo hàm còn dương trước $0$ rồi âm sau $0$, nên $0$ là cực đại, giá trị $1$. Sự thay đổi miền xét làm thay đổi cách đếm điểm trong, không làm thay đổi đạo hàm. Giá trị lớn nhất trên $[0;4]$ là câu hỏi riêng.

4. Bài tập tự luyện

1. Hàm $x^3$ có cực trị tại $0$ không?
2. Chứng minh $|x|$ có cực tiểu tại $0$ dù không có đạo hàm ở đó.
3. Tìm cực trị của $-x^2+4x$ trên $\mathbb R$.

5. Những lỗi cần tránh

• Gọi nghiệm đạo hàm là cực trị khi chưa xét dấu.
• Nhầm hoành độ, giá trị và điểm cực trị.
• Đếm đầu mút như điểm trong mà không nói quy ước.
• Dùng tiêu chuẩn đổi dấu cho hàm gián đoạn tại điểm ghép.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.