Đến nội dung chính

Căn bậc hai của thương: tử không âm, mẫu dương – lớp 9

THCSLớp 9Số và đại sốMở mô-đun

Tính chất căn bậc hai của số · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-02-B2

Căn ở mẫu phải vừa xác định vừa khác không. Vì vậy công thức tách căn của một thương cần mẫu dương; một thương dương tạo từ hai số âm không cho phép tách thành hai căn riêng trong số thực.

Sau bài này, em có thể:

  • Dùng công thức căn thương với mẫu dương.
  • Phân biệt miền tự nhiên và miền chung khi biến đổi.

Cần biết trước: Mô-đun 01; phép nhân, chia và phân tích số thành tích.

Chọn mức học phù hợp. Đọc kiến thức và ví dụ trước, tự làm bài nền tảng rồi chọn phần nâng cao hoặc thử thách. Đọc điều kiện của từng bài và ghi căn cứ của mỗi bước. Em có thể chia thành nhiều lần học; không cần hoàn thành mọi bài trong một buổi.

Với bảng hoặc công thức dài, em có thể vuốt ngang trong khung để xem đầy đủ.

1. Kiến thức và phương pháp

Với $a\ge0,b>0$,

$$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

Vế phải không âm, mẫu khác $0$ và bình phương bằng $a/b$, nên bằng căn số học của thương. Nếu chỉ xét căn của thương, có thể có thêm trường hợp tử và mẫu cùng âm; khi ấy hai căn riêng không có nghĩa. Không thực hiện bất cứ phép chia nào có mẫu bằng $0$.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Thương hai số chính phương

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{\frac{36}{49}}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tử không âm, mẫu dương, nên căn bằng $\sqrt{36}/\sqrt{49}=6/7$.

Cách tự kiểm

$(6/7)^2=36/49$.

Ví dụ 2. Tính thương trước

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{\frac{72}{8}}$ theo hai cách.

Lời giải và cách suy nghĩ

Tính trong căn được $\sqrt9=3$. Tách căn được $\sqrt{72}/\sqrt8=(6\sqrt2)/(2\sqrt2)=3$ vì $\sqrt2>0$.

Cách tự kiểm

Chia các nhân tử, không trừ các số dưới căn.

Ví dụ 3. Tử không

Cơ bản

Đề bài

$\sqrt{0/5}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải và cách suy nghĩ

$0/5=0$, nên căn bằng $0$. Mẫu $5>0$ nên cũng tách thành $\sqrt0/\sqrt5=0$.

Cách tự kiểm

Tử được phép bằng $0$.

Ví dụ 4. Mẫu không

Cơ bản

Đề bài

Có thể coi $\sqrt{5/0}$ là một số rất lớn không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Không. $5/0$ không xác định, nên không có số thực dưới căn để tính. Không phải một số gần đúng lớn.

Cách tự kiểm

Mẫu khác $0$ là điều kiện về phép chia.

Ví dụ 5. Thương hai số âm

Vận dụng

Đề bài

Tính $\sqrt{(-18)/(-2)}$; có tách thành $\sqrt{-18}/\sqrt{-2}$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Vế đầu $\sqrt9=3$. Không tách được trong $\mathbb R$ vì từng căn ở thương sau không xác định.

Cách tự kiểm

Thương có nghĩa không đồng nghĩa hai căn riêng có nghĩa.

Ví dụ 6. Một chứng minh công thức

Vận dụng

Đề bài

Với $a\ge0,b>0$, kiểm rằng $u=\sqrt a/\sqrt b$ là căn số học của $a/b$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$u\ge0$ và $u^2=a/b$ vì $\sqrt b\ne0$. Hai điều kiện định nghĩa căn số học được thỏa, nên $u=\sqrt{a/b}$.

Cách tự kiểm

Nêu cả dấu lẫn bình phương.

Ví dụ 7. Hai miền xác định

Nâng cao

Đề bài

So sánh miền của $\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}$ và $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Căn của thương có nghĩa khi $x<-1$ hoặc $x\ge2$, vì thương không âm và mẫu khác $0$. Thương hai căn cần $x-2\ge0$ và $x+1>0$, tức $x\ge2$. Hai biểu thức bằng nhau trên miền chung $x\ge2$.

Cách tự kiểm

$x=-2$ thuộc miền thứ nhất nhưng không thuộc miền thứ hai.

Ví dụ 8. Tìm số dưới căn của thương

Nâng cao

Đề bài

Giải $\sqrt{x/4}=3$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Điều kiện $x\ge0$. Bình phương hai vế không âm được $x/4=9$, nên $x=36$. Thử lại $\sqrt9=3$.

Cách tự kiểm

Giải được ứng viên rồi vẫn kiểm điều kiện.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Cho phép mẫu bằng $0$.
  • Tách thương khi tử, mẫu cùng âm.
  • Quên độ lớn khi tử chứa một bình phương.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

  1. Tính $\sqrt{\frac{81}{25}}$ và kiểm bằng bình phương.

    Gợi ý bài 1

    Mẫu dương, nhận ra hai bình phương.

  2. Rút gọn $\sqrt{18/2}$ theo hai cách.

    Gợi ý bài 2

    Tính thương trước hoặc tách căn hợp lệ.

  3. Giải thích vì sao $\sqrt{0/7}$ có nghĩa nhưng $\sqrt{7/0}$ không có nghĩa.

    Gợi ý bài 3

    Xét phép chia bên trong trước.

  4. Có được viết $\sqrt{(-8)/(-2)}=\sqrt{-8}/\sqrt{-2}$ trong $\mathbb R$ không? Tính vế trái.

    Gợi ý bài 4

    Kiểm từng căn sau khi tách.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

  1. Bằng $9/5\ge0$; $(9/5)^2=81/25$, đúng theo định nghĩa căn số học.

  2. Thương trước: $\sqrt9=3$. Tách căn: $\sqrt{18}/\sqrt2=(3\sqrt2)/\sqrt2=3$.

  3. $0/7=0$, nên căn bằng $0$. $7/0$ không xác định vì chia cho $0$, nên không tính được căn tương ứng.

  4. Không: hai căn ở vế phải không xác định thực. Vế trái là $\sqrt4=2$.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

  1. Tính $\sqrt{49/144}$.

    Gợi ý bài 5

    Nhận ra tử, mẫu chính phương.

  2. Tính $\sqrt{50/2}$.

    Gợi ý bài 6

    Tính thương trước.

  3. Tính $\sqrt{0/11}$ và cho biết mẫu có thể thay bởi $0$ không.

    Gợi ý bài 7

    Đừng nhầm tử và mẫu.

  4. Rút gọn $\sqrt{27}/\sqrt3$.

    Gợi ý bài 8

    Hai căn xác định, mẫu dương.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

  1. Bằng $7/12$, vì số này không âm và bình phương bằng $49/144$.

  2. $\sqrt{25}=5$; cũng bằng $(5\sqrt2)/\sqrt2=5$.

  3. Giá trị $0$. Không thể thay mẫu bằng $0$ vì phép chia sẽ không xác định.

  4. Bằng $\sqrt{27/3}=\sqrt9=3$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

  1. Tìm $t$ để $\sqrt{t/9}=2/3$.

    Gợi ý bài 9

    Bình phương sau khi đặt miền.

  2. Tìm điều kiện để $\sqrt{x+1}/\sqrt{x-4}$ có nghĩa.

    Gợi ý bài 10

    Tử cho điều kiện không âm, mẫu cho điều kiện dương.

  3. Có được dùng $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ khi $a=-3,b=-12$ không?

    Gợi ý bài 11

    Tính căn của thương và xét hai căn riêng.

  4. Với $a\ge0,b>0$, chứng minh $\sqrt{a/b}=0$ đúng khi $a=0$.

    Gợi ý bài 12

    Mẫu không thể bằng $0$.

  5. Tìm miền và rút gọn $\sqrt{x^2/4}$.

    Gợi ý bài 13

    Bình phương $x$ không âm với mọi $x$.

  6. Giải $\sqrt{(m+2)/5}=1$; nếu chỉ bình phương thì còn cần kiểm gì?

    Gợi ý bài 14

    Mẫu dương cố định.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

  1. Cần $t\ge0$; $t/9=4/9$ cho $t=4$, thỏa và duy nhất.

  2. Cần $x+1\ge0$ và $x-4>0$. Giao hai điều kiện là $x>4$.

  3. Căn của thương bằng $\sqrt{1/4}=1/2$, nhưng vế phải không xác định thực. Không được tách.

  4. Căn bằng $0$ khi $a/b=0$. Vì $b>0$, điều đó tương đương $a=0$; ngược lại rõ từ $\sqrt0=0$.

  5. Miền là mọi số thực. Căn bằng $|x|/2$, không luôn là $x/2$.

  6. Điều kiện $m\ge-2$. Bình phương cho $m+2=5$, nên $m=3$, thỏa điều kiện và vế phải không âm.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

  1. Giải $\sqrt{x-3}/\sqrt{x+2}=0$.

    Gợi ý bài 15

    Mẫu phải dương, tử phải bằng $0$.

  2. So sánh miền của $\sqrt{\frac{x-1}{x-1}}$ và $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}$. Trên miền nào chúng cùng bằng $1$?

    Gợi ý bài 16

    Giữ điều kiện của từng mẫu trước rút gọn.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

  1. Miền $x\ge3$; tử bằng $0$ khi $x=3$, mẫu khi ấy $\sqrt5>0$. Vậy chỉ $x=3$.

  2. Căn của thương có miền $x\ne1$ và bằng $1$ trên miền ấy, kể cả $x<1$. Thương hai căn có miền $x>1$, bằng $1$. Miền chung là $x>1$; rút gọn không bổ sung $x=1$.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.

Tải bộ năm phiếuTải hướng dẫn và đáp án