Tính biểu thức chứa căn lớp 9: rút gọn và chọn cách tính

Tính chất căn bậc hai của số · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-02-B5

Một biểu thức căn số học thường có nhiều đường tính. Hãy kiểm điều kiện, chọn thừa số chính phương hoặc hằng đẳng thức phù hợp, rồi chỉ gộp những căn đã về cùng dạng.

Sau bài này, em có thể:

• Chọn thứ tự biến đổi tiết kiệm và đúng điều kiện.
• Giải bài toán ngược và chứng minh các trường hợp bằng nhau.

Cần biết trước: Mô-đun 01; phép nhân, chia và phân tích số thành tích.

1. Kiến thức và phương pháp

Các quy tắc căn của tích, căn của thương cần đủ điều kiện. Sau khi rút $\sqrt{c^2d}=c\sqrt d$ với $c,d\ge0$, chỉ cộng trừ hệ số của cùng $\sqrt d$. Với hai biểu thức $u,v$, $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$ có thể giúp bỏ các tích hỗn hợp. Không có công thức tách căn của tổng thành tổng hai căn nói chung.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cộng căn cùng dạng

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt5$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Rút thành $2\sqrt5+3\sqrt5-\sqrt5=4\sqrt5$. Các căn cùng $\sqrt5$ nên mới cộng hệ số.

Cách tự kiểm

Không cộng các số dưới căn thành $60$.

Ví dụ 2. Chọn tính thương trước

Cơ bản

Đề bài

Tính $\sqrt{98}/\sqrt2+\sqrt{9/16}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Mẫu $\sqrt2>0$; thương căn bằng $\sqrt{49}=7$. Căn phân số bằng $3/4$. Tổng $31/4$.

Cách tự kiểm

Đối chiếu $7+3/4$, không cộng mẫu với số nguyên.

Ví dụ 3. Dùng hằng đẳng thức

Cơ bản

Đề bài

Tính $(\sqrt7-3)(\sqrt7+3)$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Dùng hiệu hai bình phương: $(\sqrt7)^2-3^2=7-9=-2$. Không cần khai triển bốn tích.

Cách tự kiểm

Biểu thức chứa căn có thể âm.

Ví dụ 4. Giữ dấu ngoài

Cơ bản

Đề bài

Tính $-\sqrt{80}+2\sqrt5$.

Lời giải và cách suy nghĩ

$\sqrt{80}=4\sqrt5$, nên biểu thức $-4\sqrt5+2\sqrt5=-2\sqrt5$.

Cách tự kiểm

Dấu trừ ở trước toàn căn đầu.

Ví dụ 5. Hai cách tính một tích

Vận dụng

Đề bài

Tính $(\sqrt3+\sqrt{12})\sqrt3$ theo hai cách.

Lời giải và cách suy nghĩ

Rút $\sqrt{12}=2\sqrt3$ trước cho $3\sqrt3\cdot\sqrt3=9$. Hoặc phân phối được $3+\sqrt{36}=3+6=9$.

Cách tự kiểm

Hai cách kiểm lẫn nhau và đều đủ điều kiện.

Ví dụ 6. Phát hiện tách tổng sai

Vận dụng

Đề bài

Có đúng $\sqrt{1+8}=1+\sqrt8$ không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Vế trái $3$. Vế phải $1+2\sqrt2$ lớn hơn $3$ vì $\sqrt2>1$. Đây không phải công thức căn của tích.

Cách tự kiểm

Có thể bình phương hai số không âm để kiểm.

Ví dụ 7. Tìm hệ số còn thiếu

Nâng cao

Đề bài

Tìm $k$ để $\sqrt{32}+k\sqrt2=\sqrt{98}$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Rút hai căn được $4\sqrt2+k\sqrt2=7\sqrt2$. Chia cho $\sqrt2>0$ suy $k=3$, duy nhất.

Cách tự kiểm

Thử $4+3=7$ ở các hệ số.

Ví dụ 8. Khi nào có thể tách căn của tổng?

Nâng cao

Đề bài

Với $a,b\ge0$, xác định lúc $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$.

Lời giải và cách suy nghĩ

Hai vế không âm. Bình phương cho $a+b=a+b+2\sqrt a\sqrt b$, tương đương $\sqrt a\sqrt b=0$, tức $a=0$ hoặc $b=0$. Hai trường hợp này cũng đủ khi thay vào.

Cách tự kiểm

Không kết luận một phản ví dụ làm công thức sai trong mọi trường hợp.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Gộp các căn chưa đưa về cùng dạng.
• Dùng công thức sai cho căn của tổng.
• Quên điều kiện hoặc dấu khi bình phương một phương trình.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Tính $\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt3$.

   Gợi ý bài 1

   Rút các căn về cùng $\sqrt3$.

2. Tính $\sqrt{75}/\sqrt3+\sqrt{16/25}$.

   Gợi ý bài 2

   Tính thương căn hợp lệ, rồi căn phân số.

3. Tính $(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)$. Chọn cách làm giúp tránh khai triển dài.

   Gợi ý bài 3

   Dùng hiệu hai bình phương.

4. Bạn Minh viết $\sqrt9+\sqrt{16}=\sqrt{25}$. Hãy kiểm giá trị hai vế và nêu phép căn có thể tách đúng trong bài này.

   Gợi ý bài 4

   Phân biệt tổng với tích.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $2\sqrt3+3\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$.

2. $\sqrt{75}/\sqrt3=\sqrt{25}=5$; $\sqrt{16/25}=4/5$. Tổng $29/5$.

3. Bằng $(\sqrt5)^2-2^2=5-4=1$.

4. Vế trái $3+4=7$, vế phải $5$, nên sai. Công thức đúng cho tích: $\sqrt{9\cdot16}=\sqrt9\sqrt{16}=12$, vì các thừa số không âm.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Tính $\sqrt{18}+\sqrt{50}$.

   Gợi ý bài 5

   Đưa về cùng $\sqrt2$.

6. Tính $\sqrt{108}/\sqrt3$.

   Gợi ý bài 6

   Mẫu dương, có thể gộp thành một thương dưới căn.

7. Tính $(\sqrt{11}-1)(\sqrt{11}+1)$.

   Gợi ý bài 7

   Nhận ra hai biểu thức liên hợp.

8. Tính $\sqrt{49/100}+2\sqrt{0{,}09}$.

   Gợi ý bài 8

   Giữ các thập phân chính xác.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$.

6. Bằng $\sqrt{36}=6$.

7. Bằng $11-1=10$.

8. $7/10+2\cdot3/10=13/10=1{,}3$.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Tìm $m$ để $\sqrt{27}+m\sqrt3=5\sqrt3$.

   Gợi ý bài 9

   Rút căn đầu rồi chia cho số dương.

10. Chứng minh $(\sqrt a-\sqrt b)^2=a+b-2\sqrt{ab}$ khi $a,b\ge0$.

    Gợi ý bài 10

    Khai triển bình phương và dùng căn của tích.

11. Với $a,b\ge0$, chứng minh $\sqrt a+\sqrt b\ge\sqrt{a+b}$.

    Gợi ý bài 11

    So bình phương hai vế không âm.

12. Tìm $x\ge0$ để $\sqrt x+2\sqrt x=12$.

    Gợi ý bài 12

    Gộp hệ số trước.

13. Bạn ghi $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ với $a,b\ge0$. Tìm điều kiện đúng.

    Gợi ý bài 13

    Bình phương hai vế.

14. Không dùng máy tính, tính $(\sqrt{12}-\sqrt3)(\sqrt{12}+\sqrt3)$.

    Gợi ý bài 14

    Dùng hiệu hai bình phương trước rút từng căn.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $3+m=5$, nên $m=2$. Thay lại được $5\sqrt3$.

10. Bình phương bằng $a+b-2\sqrt a\sqrt b$. Vì $a,b\ge0$, tích hai căn là $\sqrt{ab}$, nên công thức đúng.

11. Bình phương vế trái là $a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b$, nên bất đẳng thức đúng. Bằng nhau khi $ab=0$.

12. $3\sqrt x=12$ cho $\sqrt x=4$, $x=16$. Thử tổng $4+8=12$.

13. Cần $a^2+b^2=(a+b)^2$, tức $2ab=0$. Vì $a,b\ge0$, điều kiện là $a=0$ hoặc $b=0$; khi ấy đẳng thức đúng.

14. Bằng $12-3=9$. Nếu rút trước, được $\sqrt3\cdot3\sqrt3=9$, cũng đúng.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Giải $\sqrt{x+4}-\sqrt x=1$ trong $\mathbb R$.

    Gợi ý bài 15

    Điều kiện $x\ge0$; cô lập một căn trước khi bình phương.

16. Với $a\ge b\ge0$, tìm điều kiện để $\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}=2\sqrt a$.

    Gợi ý bài 16

    Bình phương hai vế không âm rồi kiểm điều kiện căn còn lại.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. Viết $\sqrt{x+4}=1+\sqrt x$. Hai vế không âm, bình phương cho $x+4=1+2\sqrt x+x$, nên $\sqrt x=3/2$, $x=9/4$. Thử $\sqrt{25/4}-\sqrt{9/4}=1$. Mọi nghiệm đều dẫn đến ứng viên này nên chỉ có nghiệm ấy.

16. Bình phương cho $2a+2\sqrt{a^2-b^2}=4a$, tức $\sqrt{a^2-b^2}=a$. Vì $a\ge0$, bình phương tương đương $b^2=0$, nên $b=0$. Ngược lại $b=0$ cho đúng $2\sqrt a$. Điều kiện $a\ge b\ge0$ bảo đảm mọi căn đã dùng có nghĩa.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.