Tự luyện Toán 12 · Bài 16 – Công thức tính góc trong không gian

Chọn hai vectơ chỉ phương $\vec{u},\vec{v}$ khác $\vec{0}$ của $d_1,d_2$. Góc $\theta =(d_1,d_2)$ thuộc $[0^{\circ };{90}^{\circ }]$ và thỏa Có thể đặt hai vectơ tại cùng một điểm để xác định góc ngay cả khi hai đường chéo nhau. Chẳng hạn, với $\vec{u}=(2;0;0)$ và $\vec{v}=(-1;\sqrt{3};0)$, ta có $\vec{u}\cdot \vec{v}=-2$ và $\parallel \vec{u}\parallel =\parallel \vec{v}\parallel =2$. Góc giữa hai vectơ đang chọn là ${120}^{\circ }$. Khi đổi $\vec{v}$ thành $-\vec{v}$, phương của đường thẳng vẫn giữ nguyên và góc giữa hai vectơ trở thành ${60}^{\circ }$. Do đó góc giữa hai đường là ${60}^{\circ }$.

Gọi $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Khi $d$ cắt xiên $(P)$ tại $O$, lấy $M\in d$ khác $O$ và gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa hai đường $OM$ và $OH$. Trong mặt phẳng chứa tam giác $OMH$, góc ấy phụ với góc giữa $OM$ và đường mang pháp tuyến. Vì vậy với $\alpha =(d,(P))$ ta dùng Công thức cho $\alpha =0^{\circ }$ khi $d$ song song với $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$, và $\alpha ={90}^{\circ }$ khi $d$ vuông góc với $(P)$. Trong hình, $(P)$ là $z=0$ và $\overrightarrow{OM}=(3;0;2)$, nên $\sin \alpha =2\mathrm{/}\sqrt{13}$ và $\alpha \approx {\mathrm{33,7}}^{\circ }$.

Lấy các vectơ pháp tuyến khác $\vec{0}$ là ${\vec{n}}_P,{\vec{n}}_Q$ của $(P),(Q)$. Góc $\phi$ giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng mang các pháp tuyến, nên Với hai mặt phẳng cắt nhau, một cách kiểm khác là cắt chúng bằng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến rồi lấy góc giữa hai đường thu được. Chẳng hạn, $(P):z=0$ và $(Q):z=x$ có giao tuyến là trục $Oy$. Trong mặt cắt $y=0$, hai giao tuyến có hướng $(1;0;0)$ và $(1;0;1)$, tạo góc ${45}^{\circ }$. Hai pháp tuyến $(0;0;1)$ và $(-1;0;1)$ cho cùng kết quả vì côsin bằng $1\mathrm{/}\sqrt{2}$.

Ba chân cột trên sàn $z=0$ lần lượt là $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$ và $C(0;8;0)$. Ba cột vuông góc với sàn, có độ cao tương ứng $3$, $4$ và $5$ m. Khi đó $A^{\mathrm{\prime }}(0;0;3)$, $B^{\mathrm{\prime }}(6;0;4)$ và $C^{\mathrm{\prime }}(0;8;5)$ nằm trên mái. Hai vectơ $\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}=(6;0;1)$ và $\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}=(0;8;2)$ có tích có hướng $(-8;-12;48)$, nên có thể chọn $\vec{n}=(-2;-3;12)$ làm pháp tuyến mái. Pháp tuyến của sàn là $(0;0;1)$. Góc nghiêng $\phi$ thỏa $\cos \phi =12\mathrm{/}\sqrt{157}$, nên $\phi \approx {\mathrm{16,7}}^{\circ }$. Với hai mặt bên kề nhau của hình chóp, em cũng có thể tìm hai pháp tuyến bằng tích có hướng, dùng cạnh chung làm một trong hai hướng của mỗi mặt.

Xét một bể hình lập phương cạnh $80$ cm. Đặt đáy bể trong mặt phẳng $z=0$ của hệ trục gắn với bể, nên trục $Oz$ vuông góc với đáy. Mặt nước nằm ngang trong thực tế. Khi bể nghiêng, phương của $Oz$ nghiêng theo bể và mặt nước có thể có phương trình $z=ax+by+c$ trong hệ trục này. Giả sử bốn điểm $A,B,C,D$ trên mặt nước có hình chiếu vuông góc xuống đáy lần lượt là $E(0;0;0)$, $F(80;0;0)$, $G(80;80;0)$ và $H(0;80;0)$. Biết $z_A=20$, $z_B=40$, $z_C=55$. Vì $z=ax+by+c$, tăng $y$ từ $0$ đến $80$ ở cùng một $x$ luôn làm $z$ thay đổi một lượng $80b$. Do đó $z_D-z_A=z_C-z_B=55-40=15$ cm và $z_D=35$ cm. Phương trình mặt nước là $z=20+x\mathrm{/}4+3y\mathrm{/}16$, nên $(-4;-3;16)$ là một pháp tuyến. Góc giữa đáy bể và mặt nước thỏa $\cos \phi =16\mathrm{/}\sqrt{281}$, tương đương $\tan \phi =5\mathrm{/}16$. Vậy đáy bể nghiêng khoảng ${\mathrm{17,4}}^{\circ }$ so với phương ngang.