Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Bài 2 – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG I · BÀI 2

Giá trị nào thực sự đạt được?

Xét đúng miền, so sánh giá trị tại các điểm cần kiểm tra rồi áp dụng vào bài toán diện tích, thể tích và chi phí.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · So sánh điểm dừng với hai đầu mút
Với f(x)=x2−4x+3 trên [0;3], ta có f′(x)=2x−4 và điểm dừng x=2. So sánh f(0)=3, f(2)=−1 và f(3)=0. Vậy giá trị lớn nhất là 3, còn giá trị nhỏ nhất là −1. Nếu xét trên (0;3], giá trị 3 chỉ là giới hạn khi x tiến đến 0 từ bên phải và hàm số không có giá trị lớn nhất trên miền đó.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

8 câu. Xét miền và các giá trị cần so sánh.

Vận dụng

6 câu. Tính và diễn giải kết quả trong từng miền.

Nâng cao

4 câu. Xử lý giới hạn, tham số và bài toán tối ưu.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Đọc cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất · Ôn dấu đạo hàm và cực trị

So sánh các giá trị ứng viên

Trên đoạn [a;b], với hàm liên tục, xét hai đầu mút và các điểm trong đoạn tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. Tính f tại các điểm cần xét rồi so sánh các giá trị. Phân biệt điểm đạt x0 với giá trị f(x0).

Khoảng mở và miền không bị chặn

Chia miền thành các khoảng đơn điệu, rồi xét giới hạn ở các đầu mút bị loại hoặc tại vô cực. Một cận trên hay cận dưới chỉ là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất khi hàm đạt cận ấy tại một điểm thuộc miền.

Hàm số có đạt giá trị đó không?

Hàm liên tục trên đoạn kín đạt cả giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Trên các miền khác, kiểm riêng từng giá trị. Nếu f(x)<M với mọi x nhưng f(x) tiến đến M dọc theo miền, thì M là cận trên đúng và hàm không có giá trị lớn nhất.

Chọn biến, ràng buộc và miền

Ghi rõ đại lượng cần tối ưu và đơn vị. Dùng ràng buộc để biểu diễn nó theo một biến. Xác định miền từ ý nghĩa của biến, chẳng hạn chiều dài phải dương. Kiểm điều kiện biên, rồi đổi kết quả về các kích thước ban đầu.

Từ kích thước đến chi phí

Tách từng phần vật liệu và nhân diện tích mỗi phần với đơn giá tương ứng. Với hình trụ bán kính r, chiều cao h, diện tích mỗi đáy là πr2, diện tích xung quanh là 2πrh và thể tích là πr2h. Ràng buộc thể tích giúp đưa tổng chi phí về hàm của r>0.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · So sánh giá trị ở đầu mút, điểm dừng và điểm góc

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi điểm đạt của f(x)=∣x−1∣+x2 trên đoạn [−1,2].
Mở gợi ý
Tách công thức theo x<1 và x>1. Thêm điểm 1 vào các điểm cần kiểm.
Xem lời giải và tự kiểm
Khi x<1, f(x)=1−x+x2 và f′(x)=2x−1, bằng 0 tại 1/2. Khi x>1, f(x)=x−1+x2 và f′(x)=2x+1>0. Tại 1, hai đạo hàm một phía lần lượt là 1 và 3, nên đạo hàm không tồn tại. Hàm liên tục trên đoạn. Ta có f(−1)=3, f(1/2)=3/4, f(1)=1 và f(2)=5. Vậy giá trị nhỏ nhất là 3/4 đạt tại 1/2, giá trị lớn nhất là 5 đạt tại 2.
  • Nêu tính liên tục trên đoạn.
  • Tách công thức ở x=1 và nhận ra điểm đó không khả vi.
  • Tính đủ bốn giá trị cần so sánh.
  • Ghi giá trị và hoành độ đạt.

Bài 2 · Thiết kế hộp với hai loại vật liệu

Hộp không nắp có đáy vuông cạnh x (cm) và chiều cao h (cm). Vật liệu đáy giá 2 đơn vị tiền trên cm2, còn vật liệu mặt bên giá 1 đơn vị tiền trên cm2. Tổng chi phí cố định là 216 đơn vị tiền. Tìm kích thước và thể tích lớn nhất của hộp.
Mở gợi ý
Chi phí đáy và mặt bên lần lượt là 2x2 và 4xh. Dùng ràng buộc để khử h.
Xem lời giải và tự kiểm
Từ 2x2+4xh=216 suy ra h=(108−x2)/(2x). Điều kiện x,h>0 tương đương 0<x<63. Khi đó V(x)=(108x−x3)/2, với V′(x)=(108−3x2)/2. Đạo hàm dương trước x=6 và âm sau x=6 trên miền. Vì vậy, thể tích lớn nhất đạt khi x=6 cm và h=6 cm, bằng 216 cm3.
  • Tách chi phí đáy và chi phí mặt bên.
  • Đổi ràng buộc thành miền 0<x<63.
  • Chứng minh đổi dấu đạo hàm tại 6.
  • Ghi đúng đơn vị của kích thước và thể tích.