Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lớp 12: miền xét và điểm đạt

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất phải được đạt tại một điểm thuộc miền xét. Một giới hạn ở đầu mút bị loại có thể chỉ là cận, còn một điểm không có đạo hàm vẫn có thể cho giá trị nhỏ nhất.

Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Cận và giá trị được đạt

Cho $f$ xác định trên tập khác rỗng $K$. Số $M$ là giá trị lớn nhất nếu $f(x)\le M$ với mọi $x\in K$ và có $x_1\in K$ thỏa $f(x_1)=M$. Giá trị nhỏ nhất $m$ thỏa điều kiện đối xứng $f(x)\ge m$ và đạt đẳng thức tại một điểm trong $K$. Viết $\max_K f$, $\min_K f$.

Chỉ là cận trên hoặc cận dưới chưa đủ: phải chỉ ra điểm đạt. Cực trị chỉ so với các điểm gần, còn max và min so với toàn bộ $K$. Thay miền xét có thể làm max, min xuất hiện hoặc mất đi.

2. Phương pháp trên đoạn và khoảng

Theo định lý Weierstrass, hàm liên tục trên đoạn hữu hạn $[a;b]$ đạt cả max và min. Chỉ được định nghĩa trên đoạn chưa đủ: hàm $g(x)=x$ khi $0\le x<1$, $g(1)=0$ xác định trên $[0;1]$ nhưng không đạt cận trên $1$, nên không có max.

Với hàm liên tục trên đoạn, lập danh sách hai đầu mút, các điểm trong có đạo hàm $0$ và các điểm trong không có đạo hàm. Khi các tập ứng viên hữu hạn, tính giá trị tại tất cả rồi so sánh. Lý do: nếu một max hay min nằm trong đoạn và đạo hàm tồn tại thì Fermat buộc đạo hàm bằng $0$. Không bỏ điểm góc như của $|x|$. Nếu các tập ứng viên vô hạn, cần lập luận bổ sung, không coi danh sách hữu hạn là tự động có.

Trên khoảng mở hoặc miền không bị chặn, xét thêm giới hạn ở biên và ở vô cùng để xác định cận toàn miền, rồi kiểm tra cận có được đạt bên trong hay không. Không tự nhận giới hạn tại điểm ngoài miền là một giá trị hàm. Ngược lại, cũng không loại một giá trị chỉ vì nó trùng với giới hạn biên: ví dụ $x^2(x-1)^2$ trên $(0;2)$ có min $0$ tại $1$, dù giới hạn tại $0^+$ cũng bằng $0$.

3. Ba ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Có min nhưng không có max trên R

Với $f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4$, ta có $f(x)\ge3/4$, đạt tại $x=1/2$. Vậy $\min_{\mathbb R}f=3/4$. Khi $x\to+\infty$, $f(x)\to+\infty$, nên không bị chặn trên và không có max.

Ví dụ 2. Đa thức trên đoạn đóng

Cho $f(x)=x^3-3x^2+1$ trên $[0;4]$. Hàm liên tục, nên đạt cả hai giá trị. Đạo hàm $3x(x-2)$ có nghiệm $0,2$; các ứng viên khác nhau là $0,2,4$. Ta có

Do đó min bằng $-3$ tại $2$, max bằng $17$ tại $4$. Giá trị nhỏ nhất ở đây trùng giá trị cực tiểu, còn max nằm ở đầu mút và không phải cực đại nội tại. Nếu xét trên toàn $\mathbb R$, hàm có cực đại $1$ tại $0$, cực tiểu $-3$ tại $2$, nhưng không có max hay min vì hai phía vô cùng lần lượt không bị chặn dưới và trên.

Ví dụ 3. Đầu mút bị loại khỏi miền

Tìm max, min của $f(x)=x^3-3x+2$ trên $(0;2)$. Đạo hàm $3(x-1)(x+1)$ âm trên $(0;1)$, dương trên $(1;2)$; điểm dừng duy nhất trong khoảng là $1$. Giá trị và giới hạn biên là

Ta có $f(x)=(x-1)^2(x+2)\ge0$, đẳng thức tại $1$. Mặt khác $f(x)-4=(x-2)(x+1)^2<0$ với $0<x<2$. Vì vậy min là $0$ tại $1$, còn cận trên đúng là $4$ nhưng không được đạt, nên không có max. Không được chọn “giá trị lớn nhất còn lại” sau khi bỏ giới hạn $4$.

4. Bài tập tự luyện

1. Tìm max, min của $x^2$ trên $[-1;2]$.
2. Tìm max, min của $|x-1|$ trên $[0;3]$. Vì sao phải xét $x=1$?
3. Tìm max, min của $f(x)=x$ trên $(0;1]$.

5. Những lỗi cần tránh

• Cho rằng xác định trên đoạn tự động có max, min mà không kiểm tra liên tục.
• Bỏ hai đầu mút hoặc điểm không khả vi.
• Nhầm cận không đạt với max hoặc min.
• Đếm một điểm ngoài miền như nơi đạt giá trị.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.