Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Bài 7 – Hệ trục tọa độ trong không gian

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG II · BÀI 7

Đặt hệ trục và đọc đúng vị trí trong không gian

Chọn gốc, hướng trục và đơn vị. Đọc tọa độ điểm, hình chiếu và vectơ độ dời rồi dùng chúng để tìm đỉnh hình hộp.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Phân biệt tọa độ điểm với tọa độ độ dời
xyzPH(Oxy)O
Điểm P nằm phía trên mặt phẳng (Oxy). Nét đứt thẳng đứng nối P với H, hình chiếu vuông góc của P lên mặt phẳng (Oxy).
Cho P(3;2;4). Hình chiếu vuông góc của P lên (Oxy) là H(3;2;0). Khi đi từ P xuống H, hai tọa độ đầu giữ nguyên và độ cao giảm 4 đơn vị. Do đó PH→=(0;0;−4). Trong khi đó OH→=(3;2;0) có tọa độ trùng với tọa độ của H.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

7 câu. Đọc trục, mặt phẳng tọa độ, tọa độ điểm và vectơ.

Vận dụng

7 câu. Tìm đỉnh hình hộp và diễn giải độ dời theo hướng đã chọn.

Nâng cao

7 câu. Kiểm tính tương thích của hệ trục, tìm đỉnh thiếu và đổi đơn vị.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Đọc cách đặt hệ tọa độ Oxyz · Ôn tọa độ vectơ theo hai đầu mút · Ôn vectơ và quy tắc hình hộp

Đặt gốc trước, chọn chiều dương sau

Ba trục vuông góc đôi một tại cùng gốc O. Chọn chiều dương và cùng một đơn vị độ dài cho cả ba trục. Khi dùng ba hướng có sẵn, có thể dời các đường theo những hướng ấy về cùng gốc. Các vectơ đơn vị i⃗, j⃗, k⃗ đều có độ dài 1.

Từ tọa độ điểm đến độ dời

Điểm A(xA;yA;zA) xác định vị trí của A so với O. Tọa độ vectơ AB→ là (xB−xA;yB−yA;zB−zA). Đổi điểm đầu với điểm cuối làm đổi dấu cả ba thành phần.

Giữ thành phần song song với hình chiếu

Nếu P(x;y;z) thì hình chiếu lên (Oxy) là (x;y;0) và hình chiếu lên Oz là (0;0;z). Trên hai mặt phẳng tọa độ còn lại, lần lượt cho thành phần vuông góc với mặt phẳng đó bằng 0.

Xác định đỉnh bằng các cạnh tương ứng

Trong hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có AC→=AB→+AD→ và CC′→=AA′→. Từ tọa độ C và vectơ CC′→, cộng từng thành phần để tìm C′.

Đọc dấu theo chiều dương và đổi đơn vị

Tọa độ âm biểu thị vị trí hoặc độ dời theo chiều ngược với chiều dương đã chọn. Trước khi tính, quy đổi mọi dữ kiện về cùng đơn vị. Nếu (Oxy) trùng mặt đất phẳng thì điểm trên mặt đất có z=0, còn chuyển động giữ nguyên độ cao có độ dời với thành phần thứ ba bằng 0.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Đặt hệ trục trong phòng và tìm hình chiếu

Một phòng có các kích thước 7, 5, 3,2 m. Chọn gốc O là góc trên của phòng nơi trần gặp hai bức tường. Lấy chiều dương của Ox theo mép trần dài 7 m, của Oy theo mép trần dài 5 m, của Oz thẳng đứng hướng xuống. Một cảm biến M ở trong phòng, cách hai tường (Oyz), (Oxz) lần lượt 1,8 m, 2,6 m và cách sàn 1,1 m. Tìm tọa độ M, hình chiếu của M lên trần và hình chiếu của M lên trục Oy.
Mở gợi ý
Trần có z=0 và sàn có z=3,2. Dùng độ cao của phòng để đổi khoảng cách đến sàn thành khoảng cách đến trần.
Xem lời giải và tự kiểm
Cảm biến nằm trong phòng về phía dương của cả ba trục. Khoảng cách đến (Oyz) và (Oxz) lần lượt là hoành độ 1,8 và tung độ 2,6. Từ trần xuống cảm biến là 3,2−1,1=2,1 m, nên M(1,8;2,6;2,1). Khi chiếu lên trần (Oxy), giữ nguyên hai tọa độ ngang và đặt z=0. Chân chiếu là (1,8;2,6;0). Khi chiếu lên Oy, chỉ giữ tung độ. Chân chiếu là (0;2,6;0).
  • Xác định trần có z=0, còn sàn có z=3,2.
  • Tìm cao độ 2,1 bằng hiệu, với dấu dương theo chiều xuống.
  • Phân biệt hai tọa độ được giữ khi chiếu lên trần với một tọa độ được giữ khi chiếu lên trục.

Bài 2 · Khôi phục hình hộp từ bốn đỉnh

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ với A(2;0;−1), B(5;1;1), D(1;4;0) và C′(8;3;4). Tìm C,A′,B′,D′. Kiểm tra kết quả bằng cách tính và so sánh D′C′→ với AB→.
ABCDA′B′C′D′
Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hai mặt ABCD và A′B′C′D′ có các đỉnh tương ứng nối với nhau. Nét đứt biểu thị các cạnh khuất. Hình chỉ minh họa các đỉnh tương ứng. Tọa độ và hướng các trục được xác định trong đề.
Mở gợi ý
Tìm AD→ để dựng C từ B. Dùng CC′→ làm độ dời trên mỗi cạnh bên.
Xem lời giải và tự kiểm
Ta có AD→=(−1;4;1) nên C(4;5;2). Khi đó CC′→=(4;−2;2). Cộng độ dời này vào tọa độ của A,B,D lần lượt được A′(6;−2;1), B′(9;−1;3) và D′(5;2;2). Cuối cùng, D′C′→=(3;1;2) và AB→=(3;1;2), nên hai vectơ bằng nhau.
  • Trừ tọa độ A để lấy đúng vectơ AD→.
  • Dùng cùng một vectơ cho ba cạnh bên cần dựng.
  • So sánh D′C′→ với AB→ theo đúng chiều.

Bài 3 · Đọc vị trí và độ dịch chuyển trong hai đơn vị

Hệ trục Oxyz đặt tại một trạm theo dõi, với Ox hướng đông, Oy hướng bắc, Oz hướng lên. Đơn vị là kilômét. Thiết bị ở M(−1,2;0,8;0,35) rồi đi 600 m về phía đông, 900 m về phía nam và hạ thẳng đứng 100 m. Tìm vị trí cuối N và hình chiếu vuông góc H của N lên (Oxy). Mô tả H so với trạm bằng hai hướng ngang và cho biết N còn cách mặt đất bao nhiêu mét, coi mặt đất trùng (Oxy).
Mở gợi ý
Đổi các độ dịch chuyển sang kilômét, rồi viết dấu của từng thành phần theo hướng trục.
Xem lời giải và tự kiểm
Vectơ dịch chuyển là (0,6;−0,9;−0,1). Cộng vào tọa độ M được N(−0,6;−0,1;0,25). Hình chiếu là H(−0,6;−0,1;0). Từ trạm tới H, đi về phía tây 600 m và về phía nam 100 m. Cao độ 0,25 km nghĩa là N cách mặt đất 250 m.
  • Đổi đơn vị trước khi tính tọa độ N.
  • Đọc dấu âm theo hướng tây và hướng nam.
  • Đổi cao độ cuối về mét và đặt zH=0.