Hệ tọa độ vuông góc Oxyz: tọa độ điểm và vectơ

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Hệ tọa độ vuông góc biến vị trí của một điểm và phương, độ dài của một vectơ thành các bộ ba số thực. Cần phân biệt tọa độ có dấu với khoảng cách, và phân biệt điểm với vectơ.

Trong bài: Hệ trục · Tọa độ · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Hệ tọa độ vuông góc Oxyz

Cho ba trục $Ox,Oy,Oz$ có gốc chung $O$ và đôi một vuông góc. Chọn các vectơ đơn vị $\vec i,\vec j,\vec k$ theo chiều dương của ba trục. Khi đó

Bộ ba này là một cơ sở trực chuẩn: mỗi vectơ được biểu diễn duy nhất thành tổng các bội của $\vec i,\vec j,\vec k$. Trong các bài có tích có hướng, ta dùng hệ trục thuận, nghĩa là $\vec i\times\vec j=\vec k$. Tính đôi một vuông góc tự nó chưa quyết định chiều thuận hay nghịch; đó là quy ước thêm về thứ tự và chiều của các trục.

Các mặt phẳng $(Oxy),(Oyz),(Oxz)$ lần lượt được tạo bởi hai trục tương ứng. Chúng có phương trình $z=0$, $x=0$, $y=0$. Một trục hoặc mặt phẳng tọa độ chứa cả các điểm có tọa độ âm; hình vẽ chỉ biểu diễn một phần của không gian.

2. Tọa độ của vectơ và của điểm

Ba hệ số là duy nhất. Thật vậy, lấy tích vô hướng của biểu thức với từng vectơ đơn vị, ta nhận được $x=\vec u\cdot\vec i$, $y=\vec u\cdot\vec j$, $z=\vec u\cdot\vec k$. Vì thế các hình chiếu vectơ lên ba trục là $x\vec i$, $y\vec j$, $z\vec k$.

Tọa độ của vectơ phụ thuộc cơ sở đã chọn; tọa độ của điểm còn phụ thuộc gốc $O$. Một vectơ có thể được dời song song mà không đổi tọa độ. Ngược lại, hai điểm khác nhau có tọa độ khác nhau trong cùng một hệ tọa độ.

• Với $M(x;y;z)$, hình chiếu lên $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là $(x;0;0)$, $(0;y;0)$, $(0;0;z)$.
• Hình chiếu lên $(Oxy),(Oyz),(Oxz)$ lần lượt là $(x;y;0)$, $(0;y;z)$, $(x;0;z)$.
• Khoảng cách từ $M$ đến ba mặt phẳng trên lần lượt là $|z|$, $|x|$, $|y|$, còn $OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Ghép ba thành phần của vectơ

Các hình chiếu của $\vec u$ lên ba trục là $\vec u_x=2\vec i$, $\vec u_y=3\vec j$, $\vec u_z=4\vec k$. Vì ba trục trực giao nên

Do đó $\vec u=(2;3;4)$ và $\|\vec u\|=\sqrt{29}$. Không cộng ba tọa độ để tính độ dài.

Ví dụ 2. Đọc tọa độ trên hình hộp chữ nhật

Xét hình hộp chữ nhật $ABCD.A' B' C' D'$ với $A=O$, các chiều dương theo $AB,AD,AA'$ và các độ dài tương ứng là $3,4,2$. Để ký hiệu gọn, viết các đỉnh trên là $A',B',C',D'$. Gọi $I$ là trung điểm $B' C'$. Tọa độ các đỉnh và trung điểm là

Chẳng hạn, từ $A$ đến $D'$ cần đi $4$ đơn vị theo $Oy$ rồi $2$ đơn vị theo $Oz$. Điểm $I$ giữ tọa độ $x=3$, $z=2$ của cạnh $B' C'$ và có $y=(0+4)/2=2$. Các tọa độ này là dữ kiện của mô hình, không phải số đo lấy từ hình phối cảnh.

Ví dụ 3. Tọa độ âm và hình chiếu

Cho $M(-2;1;-3)$. Hình chiếu lên $(Oxy)$ là $H(-2;1;0)$ vì chỉ tọa độ theo pháp tuyến $Oz$ thay đổi. Do đó $MH=|-3|=3$. Hình chiếu lên $Ox$ là $K(-2;0;0)$; hoành độ của $K$ là $-2$, còn khoảng cách $OK=2$.

4. Bài tập tự luyện

1. Viết tọa độ của $\vec v=-\vec i+2\vec j-3\vec k$ và tính độ dài của nó.
2. Cho $P(2;-1;4)$. Tìm hình chiếu lên ba mặt phẳng tọa độ và tính $OP$.
3. Trong hình hộp ở ví dụ 2, tìm tọa độ $A',B',C'$ và kiểm tra tọa độ trung điểm $B' C'$.

5. Những lỗi cần tránh

• Đổi thứ tự $x,y,z$ hoặc lấy khoảng cách dương thay cho tọa độ có dấu.
• Xóa nhầm tọa độ khi chiếu lên mặt phẳng: chiếu lên $(Oxy)$ phải giữ $x,y$ và cho $z=0$.
• Đồng nhất một điểm với một vectơ mà không nêu vectơ vị trí $\overrightarrow{OM}$.
• Suy ra hệ trục thuận chỉ từ giả thiết ba trục đôi một vuông góc.

Mô hình tương tác gốc: Mở mô hình tọa độ trên GeoGebra. Có thể thay đổi tọa độ và quan sát vị trí điểm; phần công thức của bài không phụ thuộc việc dịch vụ ngoài có tải được hay không.

6. Bài học liên quan và tài liệu gốc

• Tọa độ vectơ theo tọa độ điểm đầu và điểm cuối
• Công thức tọa độ của tích vô hướng
• Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Mở tài liệu bài tập gốc trên Scribd. Bài viết ở trên đã có phần tự luyện để học ngay.