Tự luyện Toán 12 · Bài 6 – Vectơ trong không gian

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG II · BÀI 6

Từ mũi tên trong không gian đến hợp lực

Dựng tổng và hiệu trên hình hộp, đọc tỉ số trên tứ diện, rồi dùng tích vô hướng để tính góc, độ dài và độ lớn của hợp lực.

Nhớ tiến độ trên thiết bị này

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Ghép ba vectơ theo đường đi trên hình hộp

Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hai mặt ABCD và A′B′C′D′ có các đỉnh tương ứng nối với nhau. Nét đứt biểu thị các cạnh khuất.

Trong hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

, ta có

\vec{A D} = \vec{B C}

và

\vec{A A^{'}} = \vec{C C^{'}}

. Do đó

\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C^{'}} = \vec{A C^{'}} .

Để kiểm chiều, lần theo đường đi từ

A

qua

B

C

đến

C^{'}

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

7 câu. Nhận biết phương, hướng, độ dài và tổng vectơ trên hình.

Nền tảng 2

7 câu. Đọc tỉ số, trọng tâm, góc và dấu của tích vô hướng.

Vận dụng 1

7 câu. Ghép vectơ qua các đỉnh và chuyển cách biểu diễn.

Vận dụng 2

6 câu. Dùng tỉ số, độ dài và tích vô hướng trong bài nhiều bước.

Nâng cao 1

5 câu. Kiểm từng nhận định về đường chéo, trọng tâm và các quan hệ vectơ.

Nâng cao 2

4 câu. Xét hợp lực, góc và tích vô hướng trong các bài phối hợp.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn cách đọc điểm đầu và hướng · Ôn cách cộng và trừ vectơ · Ôn quy tắc biểu diễn trên hình hộp · Ôn góc và tích vô hướng

Đọc điểm đầu, điểm cuối và độ dài

Vectơ

\vec{A B}

có điểm đầu

A

, điểm cuối

B

và độ dài

A B

. Hai vectơ khác

\vec{0}

bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. Hai vectơ đối nhau có cùng độ dài và ngược hướng khi chúng khác

\vec{0}

. Đổi thứ tự đầu mút đổi chiều, còn độ dài giữ nguyên.

Ghép đường đi, giữ đúng chiều hiệu

Quy tắc ba điểm cho

\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}

. Với hai vectơ cùng điểm đầu,

\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}

. Trên hình hộp, có thể tịnh tiến vectơ sang cạnh song song cùng hướng và cùng độ dài để ghép đường đi.

Đọc hệ số từ đoạn có hướng

Với

\vec{u} \neq \vec{0}

, vectơ

k \vec{u}

cùng hướng với

\vec{u}

khi

k > 0

và ngược hướng khi

k < 0

. Nếu

M \in A B

và

A M : M B = 2 : 3

thì

\vec{A M} = \frac{2}{5} \vec{A B}

. Với trọng tâm

I

của tứ diện và trọng tâm

G

của mặt đối diện đỉnh

A

I

nằm trên đoạn

A G

và

A I : I G = 3 : 1

Đưa về chung điểm đầu và kiểm dấu

Góc giữa hai vectơ khác

\vec{0}

nằm trong đoạn

[0^{\circ}; 180^{\circ}]

. Tịnh tiến để hai vectơ có chung điểm đầu rồi dùng

\vec{u} \cdot \vec{v} = ∣ \vec{u} ∣ ∣ \vec{v} ∣ \cos θ

. Khi một vectơ bằng

\vec{0}

, tích vô hướng bằng

0

và góc giữa chúng không xác định.

Viết tổng vectơ trước khi tính lực

Hợp lực là tổng các vectơ lực. Với chất điểm cân bằng, tổng này bằng

\vec{0}

. Khi có ba lực,

{\vec{F}}_{3} = - ({\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2})

. Nếu hai lực đầu không cùng phương thì lực thứ ba có giá nằm trong mặt phẳng chứa hai giá đó, với điều kiện cả ba lực cùng đặt tại một điểm.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Tổng vectơ qua các đỉnh của hình hộp

Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Đặt

\vec{u} = \vec{A B}

\vec{v} = \vec{A D}

và

\vec{w} = \vec{A A^{'}}

. Hãy biểu diễn

\vec{B^{'} D}

và

\vec{D C^{'}}

theo ba vectơ đã cho. Từ đó tìm

\vec{B^{'} D} + 2 \vec{D C^{'}}

và kiểm bằng quy tắc ba điểm.

Hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hai mặt ABCD và A′B′C′D′ có các đỉnh tương ứng nối với nhau. Nét đứt biểu thị các cạnh khuất.

Mở gợi ý

Đi từ

B^{'}

về

A

rồi tới

D

. Từ

D

đi tới

C

rồi lên

C^{'}

. Ghép một cặp có điểm nối

D

để kiểm.

Xem lời giải và tự kiểm

Ta có

\vec{B^{'} D} = - \vec{w} - \vec{u} + \vec{v}

và

\vec{D C^{'}} = \vec{u} + \vec{w}

. Do đó tổng cần tìm bằng

\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{A C^{'}}

. Mặt khác

\vec{B^{'} D} + \vec{D C^{'}} = \vec{B^{'} C^{'}} = \vec{v}

. Cộng thêm

\vec{D C^{'}}

thu được cùng kết quả.

Giữ dấu âm ở hai chặng đi từ B phẩy về A.
Kiểm đầu mút nối nhau ở D khi ghép tổng.
Tìm được cùng một vectơ bằng hai cách.

Bài 2 · Trọng tâm và khoảng cách đến mặt đối diện

Cho tứ diện đều

A B C D

có cạnh

6

. Gọi

G

là trọng tâm tam giác

B C D

và

I

là trọng tâm tứ diện. Chứng minh

A G

vuông góc với mặt phẳng

(B C D)

và tính khoảng cách từ

I

đến

(B C D)

Mở gợi ý

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A

lên

(B C D)

. Từ

A B = A C = A D

, so sánh ba khoảng cách

H B

H C

H D

Xem lời giải và tự kiểm

Theo định lý Pythagore,

H B^{2} = A B^{2} - A H^{2}

, tương tự với

H C

và

H D

. Suy ra

H

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

B C D

, tức

H = G

. Vì

B G = 6 / \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}

, ta có

A G = \sqrt{36 - 12} = 2 \sqrt{6}

. Trọng tâm tứ diện thỏa

A I = 3 I G

. Vậy khoảng cách từ

I

đến mặt đáy là

I G = A G / 4 = \sqrt{6} / 2

Chứng minh được đường cao đi qua G.
Dùng bán kính ngoại tiếp của tam giác đều để tính độ dài BG.
Lấy một phần tư AG để tính khoảng cách.

Bài 3 · Ba dây giữ cân bằng

Hai dây kéo cùng tại một vòng nối với lực có độ lớn

5

N và

8

N. Một dây thứ ba kéo với lực có độ lớn

7

N và hệ cân bằng. Bỏ qua các lực khác. Tính góc giữa hai lực đầu và giải thích vì sao dây thứ ba cùng nằm trong mặt phẳng chứa hai dây đầu.

Mở gợi ý

Bình phương độ lớn của tổng hai lực đầu bằng

7^{2}

. Khai triển bằng tích vô hướng để tìm cosin của góc.

Xem lời giải và tự kiểm

Đặt các lực là

{\vec{F}}_{1}

{\vec{F}}_{2}

{\vec{F}}_{3}

. Từ cân bằng,

{\vec{F}}_{3} = - ({\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2})

và

49 = 25 + 64 + 80 \cos θ

. Vậy

\cos θ = - 1 / 2

và

θ = 120^{\circ}

. Hai lực đầu không cùng phương nên hai giá của chúng xác định một mặt phẳng qua vòng nối. Tổng của chúng nằm trong mặt phẳng đó. Lực thứ ba đối với tổng và cùng đặt tại vòng nối, nên dây thứ ba cũng nằm trong mặt phẳng ấy.

Kiểm dấu âm của cosin và chọn góc trong khoảng 0 đến 180 độ.
Xác định lực thứ ba bằng vectơ đối của tổng.
Dùng giả thiết ba dây cùng kéo tại vòng nối để kết luận đồng phẳng.

Tự luyện Toán 12 · Bài 6 – Vectơ trong không gian

Từ mũi tên trong không gian đến hợp lực

Chọn chặng

Chẩn đoán nhanh

Nền tảng 1

Nền tảng 2

Vận dụng 1

Vận dụng 2

Nâng cao 1

Nâng cao 2

Luyện lại

Tổng kết

Nhận xét theo kỹ năng

Đọc lại kiến thức

Đọc điểm đầu, điểm cuối và độ dài

Ghép đường đi, giữ đúng chiều hiệu

Đọc hệ số từ đoạn có hướng

Đưa về chung điểm đầu và kiểm dấu

Viết tổng vectơ trước khi tính lực

Tự luận trên giấy

Bài 1 · Tổng vectơ qua các đỉnh của hình hộp

Bài 2 · Trọng tâm và khoảng cách đến mặt đối diện

Bài 3 · Ba dây giữ cân bằng