Tự luyện Toán 12 · Bài 4 – Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Đặt $u=x-2$ để đưa hàm về $u^3-3u$. Xét riêng khi đường ngang đi qua một điểm cực trị.

Tập xác định là $\mathbb{R}$. Ta có $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-1)(x-3)$. Bảng biến thiên có các mốc $-\mathrm{\infty },1,3,+\mathrm{\infty }$, dấu đạo hàm $+,-,+$, và các mức của $f$ lần lượt là $-\mathrm{\infty }\nearrow 2\searrow -2\nearrow +\mathrm{\infty }$. Vậy cực đại tại $(1;2)$ và cực tiểu tại $(3;-2)$ trên đồ thị. Đặt $u=x-2$ thì $f(x)=u^3-3u$, nên tâm đối xứng là $(2;0)$. Nghiệm $u=0,\pm \sqrt{3}$ cho ba giao điểm với trục hoành tại các hoành độ $2,2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}$. Giao với trục tung là $(0;-2)$. Vẽ ba đoạn biến thiên theo thứ tự này, giữ tâm đối xứng. Khi $m=2$ hoặc $m=-2$, đường ngang chạm đồ thị ở một cực trị và cắt ở một điểm khác. Với $-2<m<2$ có ba giao điểm, còn $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }>2$ có một. Vậy $m=\pm 2$.

Chia đa thức để viết $g(x)=3+7\mathrm{/}(x-2)$ và $h(x)=x-1+4\mathrm{/}(x-1)$. Tách bảng biến thiên tại mỗi hoành độ bị loại.

Với $g$, miền là $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ và $g^{\mathrm{\prime }}(x)=-7\mathrm{/}(x-2{)}^2<0$ trên cả hai khoảng. Nhánh trái giảm từ mức giới hạn $3$ xuống $-\mathrm{\infty }$, nhánh phải giảm từ $+\mathrm{\infty }$ về mức giới hạn $3$. Hai tiệm cận là $x=2$ và $y=3$, tâm là $(2;3)$. Hàm không có cực trị. Các giao điểm với trục hoành và trục tung lần lượt là $(-1\mathrm{/}3;0)$ và $(0;-1\mathrm{/}2)$. Với $h$, miền là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ và $h^{\mathrm{\prime }}(x)=1-4\mathrm{/}(x-1{)}^2$. Dấu theo các khoảng tách tại $-1,1,3$ là $+,-,-,+$. Nhánh trái đi $-\mathrm{\infty }\nearrow -4\searrow -\mathrm{\infty }$, còn nhánh phải đi $+\mathrm{\infty }\searrow 4\nearrow +\mathrm{\infty }$. Vậy cực đại tại hoành độ $-1$ với giá trị $-4$, cực tiểu tại hoành độ $3$ với giá trị $4$. Hai tiệm cận là $x=1$ và $y=x-1$, tâm là $(1;0)$. Vì tử số $(x-1{)}^2+4$ dương nên không có giao điểm với trục hoành. Giao với trục tung là $(0;-5)$. Khi phác hình, đặt từng nhánh đúng phía của đường đứng và đối chiếu chiều áp sát đường ngang hoặc đường xiên.