Khảo sát hàm bậc ba lớp 12: cực trị và đồ thị

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Đạo hàm bậc nhất quyết định số cực trị của hàm bậc ba; đạo hàm cấp hai xác định điểm uốn và tâm đối xứng. Đồ thị phải phù hợp với dấu đạo hàm và hai đầu vô cùng.

Mục tiêu: phân loại hàm bậc ba, lập biến thiên và vẽ đồ thị từ các điểm cùng dấu đã được tính.

Kiến thức cần biết: đạo hàm, dấu tam thức bậc hai, cực trị và giới hạn tại vô cùng.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Dạng hàm và hai đầu đồ thị

Xét $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, với $a\ne0$. Tập xác định là $\mathbb R$. Nếu $a>0$, giới hạn bên trái là $-\infty$, bên phải là $+\infty$. Nếu $a<0$, hai dấu đảo lại. Điều này theo từ hạng $ax^3$ chi phối các hạng bậc thấp ở vô cùng.

Đồ thị không có tiệm cận đứng vì đa thức liên tục hữu hạn tại mọi điểm. Nó cũng không có tiệm cận ngang hoặc xiên là đường thẳng: hiệu $f(x)-(mx+n)$ vẫn là đa thức bậc ba hệ số đầu khác 0, nên không thể tiến về 0 tại vô cùng.

2. Sáu dạng theo đạo hàm và hệ số đầu

Có $f'(x)=3ax^2+2bx+c$. Đặt $\delta=b^2-3ac$, là biệt thức thu gọn của đạo hàm. Nếu $\delta>0$, đạo hàm có hai nghiệm $x_1<x_2$ và đổi dấu qua mỗi nghiệm. Nếu $a>0$, hàm tăng–giảm–tăng, có cực đại tại $x_1$, cực tiểu tại $x_2$. Nếu $a<0$, hàm giảm–tăng–giảm, có cực tiểu trước và cực đại sau.

Nếu $\delta=0$, đạo hàm bằng 0 tại $x_I=-b/(3a)$ nhưng không đổi dấu; không có cực trị. Hàm tăng nghiêm trên $\mathbb R$ khi $a>0$, giảm nghiêm khi $a<0$. Thật vậy, sau phép đặt $t=x-x_I$, hàm có dạng $f(x_I)+at^3$ trong trường hợp này.

Nếu $\delta<0$, đạo hàm không bằng 0 và luôn cùng dấu với $a$. Hàm cũng tăng nghiêm hoặc giảm nghiêm trên $\mathbb R$. Kết hợp ba trường hợp của $\delta$ với hai dấu của $a$ cho sáu dạng. Đạo hàm bằng 0 ở một điểm không tự nó chứng minh có cực trị.

Vì $f''(x)=6ax+2b$, hoành độ điểm uốn là $x_I=-b/(3a)$. Đạo hàm cấp hai đổi dấu ở đây. Đặt $t=x-x_I$, khai triển cho $f(x_I+t)=f(x_I)+at^3+\lambda t$ với một số thực $\lambda$. Do phần theo $t$ là hàm lẻ, $f(x_I+t)+f(x_I-t)=2f(x_I)$; vậy $I=(x_I;f(x_I))$ là tâm đối xứng.

3. Ví dụ khảo sát đầy đủ

Hàm y = 2x³ − 9x² + 12x − 4

Tập xác định là $\mathbb R$; hệ số đầu dương cho hai giới hạn trái $-\infty$, phải $+\infty$. Đạo hàm là $f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$. Nó dương khi $x<1$ hoặc $x>2$, âm khi $1<x<2$.

Hàm tăng trên $(-\infty;1)$ và $(2;+\infty)$, giảm trên $(1;2)$. Giá trị $f(1)=1$ cho điểm cực đại $(1;1)$; $f(2)=0$ cho điểm cực tiểu $(2;0)$. Dòng biến thiên theo thứ tự là $-\infty\nearrow1\searrow0\nearrow+\infty$.

Đạo hàm cấp hai đúng là $f''(x)=12x-18=6(2x-3)$. Vì thế $x_I=3/2$, $f(3/2)=1/2$, tâm đối xứng là $I=(3/2;1/2)$. Hàm không có tiệm cận.

Để vẽ, thêm các giao trục: $f(0)=-4$ và $f(x)=(2x-1)(x-2)^2$. Đồ thị cắt trục hoành tại $(1/2;0)$, tiếp xúc trục hoành tại $(2;0)$. Nét vẽ đi qua các điểm này, giữ ba khoảng biến thiên và đối xứng tâm $I$; hình bên dưới được tính từ chính công thức, không suy ra bằng mắt.

4. Tự luyện

1. Hàm $x^3-3x$ có những điểm cực trị và tâm đối xứng nào?
2. Hàm $-x^3$ có đạo hàm bằng 0 tại 0. Có cực trị tại 0 không?
3. Tìm $m$ để $x^3+mx$ có hai cực trị.

5. Những lỗi cần tránh

Không dùng nghiệm của đạo hàm cấp hai làm hoành độ cực trị. Không đếm nghiệm kép của đạo hàm thành hai cực trị. Khi vẽ, cần giữ đúng giao trục, dấu ở hai đầu và thứ tự cực đại–cực tiểu. Hệ số $a$ không được bằng 0 trong phân loại bậc ba.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.

Công cụ vẽ GeoGebra trong bài gốc.