Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Chương VI – Xác suất có điều kiện

TOÁN 12 · TẬP HAI · CHƯƠNG VI · ÔN TẬP CHƯƠNG VI

Chọn phương pháp theo dữ kiện xác suất

Ôn cách chọn mẫu số, đọc bảng hai chiều, rút không hoàn lại và suy ngược từ kết quả bằng công thức Bayes.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Cách làm và ví dụ

Đọc hai chiều của cùng một bảng

Chọn đều một trong 60 bài gửi. Gọi A là biến cố bài thuộc nhóm I và H là biến cố bài đạt yêu cầu. Nếu đã biết nhóm I, xét tổng hàng 20 để có P(H∣A)=12/20=3/5. Nếu đã biết bài đạt, xét tổng cột 30 để có P(A∣H)=12/30=2/5.
60 bài gửi theo hai nhóm và kết quả
NhómĐạt yêu cầuChưa đạt yêu cầuTổng
Nhóm I12820
Nhóm II182240
Tổng303060

Chuyển bảng thành sơ đồ cây rồi kiểm lại

Từ bảng, P(A)=20/60=1/3 và P(H∣A‾)=18/40=9/20. Theo hai đường đi đến H,
P(H)=13⋅35+23⋅920=12.

Xác suất này cũng bằng 30/60 theo bảng. Khi bảng và sơ đồ biểu diễn cùng phép thử, hai cách tính phải cho cùng kết quả.
Nhóm ban đầuKết quả quan sát1/32/33/52/59/2011/20Bắt đầuNhóm INhóm IIĐạtChưa đạtĐạtChưa đạt
Các đường dẫn tới “Đạt” lần lượt đóng góp (1/3)(3/5) và (2/3)(9/20).

Phân biệt một thứ tự với một biến cố gồm hai thứ tự

Túi có 5 thẻ đỏ và 3 thẻ xanh. Rút hai thẻ lần lượt, mỗi lượt chọn đều trong số còn lại. Xác suất rút đỏ rồi xanh bằng (5/8)(3/7)=15/56. Xác suất rút xanh rồi đỏ cũng bằng 15/56. Vì hai thứ tự rời nhau, xác suất rút hai thẻ khác màu bằng 15/28. Có thể kiểm bằng biến cố đối, 1−(5/8)(4/7)−(3/8)(2/7)=15/28.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Kiểm số cách khi rút không hoàn lại
Túi có 3 thẻ đỏ và 2 thẻ xanh. Rút liên tiếp hai thẻ, mỗi lượt chọn đều trong số còn lại. Xác suất rút đỏ rồi xanh là (3/5)(2/4)=3/10. Nếu hỏi hai thẻ khác màu, cần cộng thêm xác suất xanh rồi đỏ, cũng bằng 3/10. Hai thứ tự rời nhau nên kết quả là 3/5.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

4 câu. Tính xác suất giao và xác suất của kết quả qua các nhánh.

Ví dụ tính một ô giao
Nếu P(A)=3/7 và P(B∣A)=2/3, thì P(A∩B)=(3/7)(2/3)=2/7.

Nền tảng 2

3 câu. Tính xác suất khi rút lần lượt và đọc dữ kiện trong bảng.

Ví dụ bớt một vật ở lượt sau
Với 6 viên đỏ trong 9 viên, xác suất rút liên tiếp hai viên đỏ không hoàn lại là (6/9)(5/8)=5/12.

Vận dụng 1

4 câu. Kết hợp xác suất giao, biến cố đối và quy tắc nhân.

Ví dụ đếm phần giao qua hợp
Trong 30 bạn, có 17 bạn chọn A, 14 bạn chọn B và 4 bạn không chọn cả hai hoạt động nào. Có 26 bạn chọn ít nhất một hoạt động, nên 17+14−26=5 bạn chọn cả hai.

Vận dụng 2

3 câu. Đổi chiều điều kiện và lấy trọng số cho các nhóm.

Ví dụ suy ngược theo nhóm quan sát
Trong 50 bản ghi có tín hiệu, có 9 bản thuộc nguồn I. Chọn đều một bản ghi có tín hiệu thì xác suất thuộc nguồn I là 9/50.

Nâng cao 1

3 câu. Suy ra số lượng và kiểm từng nhận định từ bảng hoặc sơ đồ.

Ví dụ kiểm nghiệm nguyên
Với 4 thẻ trắng trong tổng số n thẻ, nếu xác suất rút hai thẻ trắng không hoàn lại bằng 2/15 thì n(n−1)=90. Nghiệm phù hợp n=10 thỏa n≥4.

Nâng cao 2

3 câu. Xét biến cố ghép và tính xác suất sau khi có tín hiệu.

Ví dụ kiểm xác suất toàn phần
Nếu hai nhóm có xác suất có tín hiệu là 1/5 và 3/5, xác suất toàn phần phải thuộc [1/5,3/5]. Kết quả vượt 3/5 cho thấy cần kiểm lại trọng số hoặc cách cộng.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn công thức xác suất có điều kiện

Ôn xác suất toàn phần và công thức Bayes

Chọn biến cố đã biết làm mẫu số

Nếu P(B)>0, P(A∣B)=P(A∩B)/P(B). Đổi sang P(B∣A) giữ nguyên tử số và đổi mẫu số thành P(A) khi P(A)>0.

Tìm ô giao, tổng hàng hoặc tổng cột

Trong mẫu đồng khả năng, chia số phần tử trong ô giao cho kích thước nhóm điều kiện. Nếu chỉ biết số phần tử của hợp và hai nhóm, dùng n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∪B).

Tính tích trên từng đường đi

Dùng P(A∩B)=P(A)P(B∣A) khi P(A)>0. Với rút không hoàn lại, tổng số phần tử giảm ở lượt hai. Tính riêng từng thứ tự nếu biến cố gồm nhiều thứ tự.

Cộng các giao rời nhau dẫn đến biến cố

Nếu hai nhóm là A,A‾, thì P(H)=P(A∩H)+P(A‾∩H). Nếu có dữ kiện điều kiện thay cho dữ kiện giao, dùng công thức nhân cho từng nhánh có xác suất dương.

Giới hạn vào các trường hợp có kết quả đã thấy

Sau khi biết H xảy ra, tính tỉ lệ của nhánh cần hỏi trong tổng các nhánh đi tới H. Tử số của P(A∣H) là P(A∩H), mẫu số là P(H) và cần P(H)>0.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Từ ba số đếm đến bảng hai chiều

Một khảo sát có 90 người. Có 52 người chọn đọc bản tin khoa học, 45 người chọn xem video khoa học và 16 người không chọn hình thức nào. Mỗi người có thể chọn cả hai. Chọn ngẫu nhiên một người. Gọi A,B lần lượt là biến cố người đó chọn đọc bản tin, chọn xem video. (a) Lập bảng số người theo hai tiêu chí. (b) Tính P(A∩B), P(B∣A) và P(A∣B). (c) Hai biến cố có độc lập không?
Mở gợi ý
Tính n(A∪B) trước. Số người chọn cả hai được đếm hai lần trong 52+45. Khi kiểm độc lập, so sánh P(A∣B) với P(A).
Xem lời giải và tự kiểm
(a) Có 90−16=74 người chọn ít nhất một hình thức. Giao có 52+45−74=23 người. Vì thế, bốn ô “cả hai”, “chỉ đọc”, “chỉ xem”, “không chọn” có số người lần lượt là 23,29,22,16. Bảng có thể trình bày dưới dạng
BB‾ΣA232952A‾221638Σ454590.

(b) Dùng ô giao 23 với các mẫu số lần lượt là 90,52,45, ta được P(A∩B)=23/90, P(B∣A)=23/52 và P(A∣B)=23/45.
(c) Ta có P(A)=52/90=26/45. Vì P(A∣B)=23/45≠26/45 và P(B)>0, hai biến cố phụ thuộc.
  • Bốn ô trong bảng cộng thành 90. Hàng A và cột B phải có tổng lần lượt là 52 và 45.
  • Xác suất giao dùng mẫu số toàn bảng, còn xác suất có điều kiện dùng mẫu số của hàng hoặc cột đã biết.
  • Để kiểm độc lập, có thể so sánh thêm P(A∩B)=23/90 với P(A)P(B)=26/90.

Bài 2 · Chọn hộp rồi rút hai thẻ

Một vòng quay có 5 ô cùng diện tích, trong đó 2 ô chọn hộp I và 3 ô chọn hộp II. Hộp I có 5 thẻ xanh và 5 thẻ vàng, hộp II có 2 thẻ xanh và 4 thẻ vàng. Sau khi chọn hộp, rút hai thẻ lần lượt, mỗi lần chọn đều trong số thẻ còn lại. (a) Tính xác suất rút được đúng một thẻ xanh. (b) Biết đã rút được đúng một thẻ xanh, tính xác suất đã chọn hộp I. (c) Nếu thay thông tin quan sát thành “hai thẻ cùng màu”, xác suất đã chọn hộp I là bao nhiêu?
Mở gợi ý
Gọi A là biến cố chọn hộp I, E là biến cố rút đúng một thẻ xanh. Với mỗi hộp, tính E bằng tổng hai thứ tự xanh–vàng và vàng–xanh. Dùng E‾ khi đổi thông tin quan sát ở (c).
Xem lời giải và tự kiểm
(a) Ta có P(A)=2/5. Trong hộp I, xác suất đúng một xanh là 2(5/10)(5/9)=5/9. Trong hộp II, xác suất này là 2(2/6)(4/5)=8/15. Do đó
P(E)=25⋅59+35⋅815=122225.

(b) Vì P(E)>0, công thức Bayes cho P(A∣E)=(2/9)/(122/225)=25/61.
(c) Hai thẻ cùng màu chính là E‾. Ta có P(E‾)=103/225>0 và P(A∩E‾)=(2/5)(1−5/9)=8/45. Vậy P(A∣E‾)=(8/45)/(103/225)=40/103.
  • Dùng đúng tỉ lệ chọn mỗi hộp theo số ô trên vòng quay.
  • Tính đủ hai thứ tự trong biến cố đúng một thẻ xanh. Mẫu số lượt hai phải giảm một.
  • Đổi thông tin quan sát thì tính lại cả tử số lẫn mẫu số. Hai đáp án 25/61 và 40/103 ứng với hai điều kiện khác nhau.

Bài 3 · Đổi mức xác suất sau hai lần thấy tín hiệu

Chọn ngẫu nhiên một tệp ảnh. Tỉ lệ ảnh thuộc bộ sưu tập A là p, với 0<p<1. Một phép kiểm tự động gắn cờ cho ảnh thuộc A với xác suất 3/4 và cho ảnh thuộc bộ sưu tập còn lại với xác suất 1/4. Hai lần chạy độc lập trong mỗi nhóm khi đã biết ảnh thuộc nhóm nào. (a) Với p=1/10, tính xác suất ảnh thuộc A khi biết lần chạy đầu gắn cờ. (b) Cũng với p=1/10, tính xác suất ảnh thuộc A khi biết cả hai lần gắn cờ. (c) Tìm p nhỏ nhất để xác suất ở (b), tính theo p, không dưới 2/3.
Mở gợi ý
Gọi H1,H2 là các biến cố gắn cờ ở hai lần. Tính P(H1∩H2∣A) và P(H1∩H2∣A‾) bằng tính độc lập trong từng nhóm. Sau đó dùng công thức xác suất toàn phần và Bayes.
Xem lời giải và tự kiểm
(a) Với p=1/10, ta có P(A∩H1)=3/40 và P(A‾∩H1)=9/40. Do đó P(A∣H1)=(3/40)/(12/40)=1/4.
(b) Đặt H=H1∩H2. Vì hai lần độc lập trong từng nhóm, P(H∣A)=9/16 và P(H∣A‾)=1/16. Khi p=1/10, hai xác suất giao P(A∩H) và P(A‾∩H) đều bằng 9/160. Vì thế P(A∣H)=1/2.
(c) Với 0<p<1, mẫu số của Bayes là P(H)=(1+8p)/16>0. Do đó
P(A∣H)=9p1+8p≥23  ⟺  27p≥2+16p  ⟺  p≥211.

Giá trị 2/11 thuộc miền xét và cho đúng ngưỡng yêu cầu.
  • Chỉ dùng phép nhân với giả thiết độc lập bên trong từng nhóm.
  • Trong (b), hai nhánh gắn cờ hai lần ở p=1/10 có cùng xác suất, phù hợp với kết quả 1/2.
  • Kiểm tra mẫu số 1+8p dương trước khi nhân chéo. Thế p=2/11 để xác nhận dấu bằng.