Tự luyện Toán 12 · Thực hành đo gang tay – Thu thập và phân tích số liệu ghép nhóm

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG III · THỰC HÀNH ĐO GANG TAY

Từ phép đo gang tay đến bảng số liệu và kết luận

Đo theo cùng một quy trình, lập bảng tần số và đọc biểu đồ. Dùng số trung bình, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên để giải thích kết quả trong từng mẫu.

Đo, lập bảng và phân tích số liệu

Đo một gang tay phải

Đặt thước có vạch centimét nằm phẳng trên bàn. Xòe bàn tay phải. Đặt đầu ngón cái tại vạch

0

cm, rồi đọc vị trí đầu ngón út theo chiều dọc thước. Dùng cùng một quy trình và độ chính xác đã thống nhất, chẳng hạn đến

0,1

cm. Nếu đầu ngón cái lệch khỏi vạch

0

, hãy đặt lại hoặc lấy hiệu của hai số đọc. Khi đo cùng bạn học, có thể ghi số đo và mã nhóm trên giấy hoặc tệp riêng. Dữ liệu dùng trong ví dụ này là dữ liệu mô phỏng.

Sơ đồ đo gang tay phải. Đầu ngón cái đặt tại mốc 0 cm. Đọc vị trí đầu ngón út theo thước, ví dụ 19,2 cm.

Ghi số đo và lập bảng tần số

Với mỗi nhóm, đếm riêng các số đo thuộc từng khoảng. Nhóm

[18; 19)

nhận số đo

18

cm. Số đo

19

cm được xếp vào nhóm

[19; 20)

. Nếu có số đo hợp lệ ngoài các khoảng dự kiến, hãy bổ sung khoảng phù hợp. Kiểm tổng tần số mỗi hàng với số lượt đã ghi. Trong bảng mô phỏng, nhóm

A

có

16

lượt và nhóm

B

có

20

lượt.

Dữ liệu mô phỏng để tự luyện
Độ dài gang tay (cm)	$[16; 17)$	$[17; 18)$	$[18; 19)$	$[19; 20)$	$[20; 21)$	$[21; 22)$	$[22; 23)$	$[23; 24)$
Nhóm A	$0$	$1$	$3$	$6$	$4$	$2$	$0$	$0$
Nhóm B	$0$	$0$	$0$	$2$	$5$	$6$	$5$	$2$

Vẽ và đọc biểu đồ tần số

Đặt các khoảng theo thứ tự trên trục ngang. Trên trục đứng ghi số lượt, dùng gốc

0

và cùng thang đo cho hai nhóm. Vì các khoảng đều rộng

1

cm, dùng các cột có cùng bề rộng và chiều cao bằng tần số. Ở khoảng

[20; 21)

, cột của

B

cao

5

và cột của

A

cao

4

. Hai tỉ lệ tương ứng đều bằng

25 %

, vì

5 / 20 = 4 / 16

. Khi cần so sánh tỉ lệ giữa hai mẫu khác cỡ, dùng tần suất hoặc chia chiều cao cột tần số cho cỡ mẫu của chính nhóm đó.

Tần số các nhóm từ 16 đến dưới 24 cm. Mẫu A lần lượt có 0, 1, 3, 6, 4, 2, 0, 0 lượt. Mẫu B có 0, 0, 0, 2, 5, 6, 5, 2 lượt.

So sánh mức độ phân tán trong hai mẫu

Dùng trung điểm

x_{i}

của từng khoảng, tần số

f_{i}

và cỡ mẫu

n = \sum_{i} f_{i}

của từng nhóm. Tính

\overset{ˉ}{x} = \frac{\sum_{i} f_{i} x_{i}}{n}, s^{2} = \frac{\sum_{i} f_{i} (x_{i} - \overset{ˉ}{x})^{2}}{n}, s = \sqrt{s^{2}}, C V = \frac{s}{\overset{ˉ}{x}} .

Hai hàng cuối được làm tròn để trình bày. Nhóm

B

có độ lệch chuẩn lớn hơn, nên phân tán tuyệt đối hơn theo

s

. Nhóm

A

có hệ số biến thiên lớn hơn, nên phân tán tương đối hơn theo

C V

. Các kết luận mô tả đúng hai mẫu mô phỏng. Khi đo một lớp cụ thể, nêu lớp và số lượt thực tế trong báo cáo.

Số đặc trưng tính từ bảng ghép nhóm
Số đặc trưng	Nhóm A	Nhóm B
Cỡ mẫu $n$	$16$	$20$
Trung bình (cm)	$19,6875$	$21,5$
Phương sai (cm vuông)	$1,15234375$	$1,30$
Độ lệch chuẩn (cm)	$1,0735$	$1,1402$
Hệ số biến thiên	$5,45 %$	$5,30 %$

Đối chiếu kết quả bằng bảng tính

Nhập hai cận vào cột A và B, tần số mẫu A và B vào cột D và E, theo tám hàng từ 2 đến 9. Cột C là giá trị đại diện. Cột F và G chứa tích tần số với giá trị đại diện. Cột H và I chứa bình phương độ lệch có trọng số. Nhập các công thức ở hàng 2 rồi sao chép C2, F2, G2, H2 và I2 đến hàng 9. Nhập riêng các công thức tổng hợp từ hàng 10 đến 14. Ô F11 và G11 là trung bình cố định, nhờ dấu đô la giữ nguyên cột và hàng khi sao chép. Định dạng ô F14 và G14 kiểu phần trăm. Giữ giá trị đầy đủ trong công thức và chỉ làm tròn khi trình bày. Dùng bảng kết quả ở bước trước để đối chiếu trước khi thay dữ liệu mới.

C2: =(A2+B2)/2
F2: =D2*C2
G2: =E2*C2
H2: =D2*(C2-$F$11)^2
I2: =E2*(C2-$G$11)^2
F10: =SUM(D2:D9)
G10: =SUM(E2:E9)
F11: =SUM(F2:F9)/F10
G11: =SUM(G2:G9)/G10
F12: =SUM(H2:H9)/F10
G12: =SUM(I2:I9)/G10
F13: =SQRT(F12)
G13: =SQRT(G12)
F14: =F13/F11
G14: =G13/G11

Nhớ tiến độ trên thiết bị này

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Xếp một số đo đúng bằng cận chung

Nếu đọc được

19,0

cm thì ghi vào nhóm

[19; 20)

, vì nhóm

[18; 19)

loại đầu mút phải

19

. Tăng tần số của đúng một nhóm cho mỗi lượt đo được dùng.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

5 câu. Đo nhất quán, đọc cận nhóm và kiểm tổng tần số.

Vận dụng

5 câu. Tính số đặc trưng và đối chiếu trên bảng tính.

Nâng cao

5 câu. So sánh độ phân tán tuyệt đối với tương đối và giới hạn kết luận.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn các số đặc trưng của Chương III · Đọc lại công thức phương sai và độ lệch chuẩn

Đặt cùng mốc đo và dùng cùng bàn tay

Đặt thước trên bàn, dùng bàn tay phải, đặt đầu ngón cái ở mốc

0

cm và đọc vị trí đầu ngón út khi xòe tay. Ghi đơn vị và dùng cùng độ chính xác đọc thước cho các lượt đo.

Xếp số đo vào đúng một nhóm

Nhóm

[a; b)

gồm số đo

x

thỏa

a \leq x < b

. Cộng tần số để kiểm số quan sát. Khi nhóm có độ rộng bằng nhau, có thể biểu diễn tần số bằng các cột theo khoảng. So sánh tỷ trọng bằng tần suất nếu hai nhóm khác cỡ.

Tính có trọng số theo giá trị đại diện

Lấy trung điểm

x_{i}

của từng nhóm. Với tần số

m_{i}

và

n = \sum_{i} m_{i}

, dùng

\overset{ˉ}{x} = \sum_{i} m_{i} x_{i} / n

và

s^{2} = \sum_{i} m_{i} (x_{i} - \overset{ˉ}{x})^{2} / n

. Độ lệch chuẩn

s = \sqrt{s^{2}}

có đơn vị cm.

So độ phân tán tương đối khi trung bình dương

Với số đo độ dài và

\overset{ˉ}{x} > 0

, hệ số biến thiên là

C V = s / \overset{ˉ}{x}

. Nhân tỉ số với

100

khi viết dưới dạng phần trăm. Hai mẫu có thể xếp khác nhau theo

s

và theo

C V

vì hai chỉ số trả lời hai câu hỏi khác nhau.

Đối chiếu công thức và giới hạn kết luận

Kiểm các cột giá trị đại diện, tần số, tích có trọng số và bình phương độ lệch. Cố định ô trung bình khi sao chép công thức. Các kết quả tính từ bảng ghép nhóm mô tả những mẫu đang xét.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Ghép nhóm rồi vẽ biểu đồ tần số

Một mẫu mô phỏng gồm

17,6

18

18,3

18,9

19

19,5

20

và

20,4

cm. Dùng các nhóm

[17; 18), [18; 19), [19; 20), [20; 21)

. Lập bảng tần số, phác biểu đồ tần số và giải thích cách xử lý số đo bằng cận chung.

Mở gợi ý

Với mỗi cận chung, nhận số đo vào nhóm bắt đầu ở cận đó. Kiểm tổng tần số trước khi vẽ.

Xem lời giải và tự kiểm

Các tần số lần lượt là

1

3

2

2

, có tổng bằng

8

. Trên trục ngang ghi các khoảng theo thứ tự. Trục đứng ghi số lượt với gốc

0

. Chiều cao các cột lần lượt là

1

3

2

2

. Các số

18

19

20

nằm ở cận trái của nhóm nhận chúng và không được tính vào nhóm phía trước.

Mỗi lượt ghi đúng một lần.
Tổng tần số bằng 8.
Chiều cao của từng cột khớp bảng.

Bài 2 · So sánh hai mẫu theo hai thước đo

Dùng bảng mô phỏng để tính cỡ mẫu, trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên của hai mẫu. Viết kết luận về độ phân tán tuyệt đối và tương đối trong hai mẫu này.

Số liệu mô phỏng về độ dài gang tay
Gang tay (cm)	$[16; 17)$	$[17; 18)$	$[18; 19)$	$[19; 20)$	$[20; 21)$	$[21; 22)$	$[22; 23)$	$[23; 24)$
Nhóm A	$0$	$1$	$3$	$6$	$4$	$2$	$0$	$0$
Nhóm B	$0$	$0$	$0$	$2$	$5$	$6$	$5$	$2$

Mở gợi ý

Mỗi mẫu dùng cỡ mẫu riêng. Tính

s

từ

s^{2}

rồi tính

C V = s / \overset{ˉ}{x}

Xem lời giải và tự kiểm

Trung điểm các nhóm là

16,5

17,5

\dots

23,5

cm. Với

A

, ta có

n_{A} = 16

{\overset{ˉ}{x}}_{A} = 19,6875

cm,

s_{A}^{2} = 1,15234375 {c m}^{2}

s_{A} \approx 1,0735

cm và

C V_{A} \approx 5,45 %

. Với

B

, ta có

n_{B} = 20

{\overset{ˉ}{x}}_{B} = 21,5

cm,

s_{B}^{2} = 1,30 {c m}^{2}

s_{B} \approx 1,1402

cm và

C V_{B} \approx 5,30 %

. Theo

s

, mẫu

B

phân tán tuyệt đối hơn quanh trung bình của nó. Theo

C V

, mẫu

A

phân tán tương đối hơn so với mức trung bình của mẫu.

Tính riêng hai cỡ mẫu.
Giữ đủ chữ số đến bước cuối.
Nêu rõ thước đo của mỗi kết luận và giới hạn nhận xét trong hai mẫu.

Bài 3 · Đối chiếu bảng tính với cách tính tay

Nhập cận trái vào A2:A4, cận phải vào B2:B4 và tần số vào D2:D4 theo bảng. Dùng cột C cho giá trị đại diện, F cho tích tần số với giá trị đại diện, H cho bình phương độ lệch có trọng số. Viết công thức ở C2, F2, F10 (cỡ mẫu), F11 (trung bình), H2, F12 (phương sai) và F13 (độ lệch chuẩn). Tính tay để đối chiếu.

Dữ liệu kiểm bảng tính
Gang tay (cm)	$[18; 19)$	$[19; 20)$	$[20; 21)$
Tần số	$3$	$2$	$3$

Mở gợi ý

Tại H2, ô trung bình phải giữ nguyên địa chỉ khi sao chép công thức xuống dưới.

Xem lời giải và tự kiểm

Nhập lần lượt C2: =(A2+B2)/2, F2: =D2*C2, F10: =SUM(D2:D4), F11: =SUM(F2:F4)/F10, H2: lấy D2 nhân bình phương hiệu giữa C2 và F11, với dấu đô la trước cả F và 11, F12: =SUM(H2:H4)/F10 và F13: =SQRT(F12). Sao chép C2, F2 và H2 xuống hàng 4. Tính tay cho

n = 8

\overset{ˉ}{x} = 19,5

cm,

s^{2} = 6 / 8 = 0,75 {c m}^{2}

và

s \approx 0,87

cm.

Giá trị đại diện là 18,5 cm, 19,5 cm và 20,5 cm.
Cột H dùng đúng tần số và cùng ô trung bình.
Kết quả tính tay khớp bảng tính.

Tự luyện Toán 12 · Thực hành đo gang tay – Thu thập và phân tích số liệu ghép nhóm

Từ phép đo gang tay đến bảng số liệu và kết luận

Đo, lập bảng và phân tích số liệu

Đo một gang tay phải

Ghi số đo và lập bảng tần số

Vẽ và đọc biểu đồ tần số

So sánh mức độ phân tán trong hai mẫu

Đối chiếu kết quả bằng bảng tính

Chọn chặng

Chẩn đoán nhanh

Nền tảng

Vận dụng

Nâng cao

Luyện lại

Tổng kết

Nhận xét theo kỹ năng

Đọc lại kiến thức

Đặt cùng mốc đo và dùng cùng bàn tay

Xếp số đo vào đúng một nhóm

Tính có trọng số theo giá trị đại diện

So độ phân tán tương đối khi trung bình dương

Đối chiếu công thức và giới hạn kết luận

Tự luận trên giấy

Bài 1 · Ghép nhóm rồi vẽ biểu đồ tần số

Bài 2 · So sánh hai mẫu theo hai thước đo

Bài 3 · Đối chiếu bảng tính với cách tính tay