Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Chương III – Các số đặc trưng đo mức độ phân tán

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG III · ÔN TẬP CHƯƠNG III

Chọn và kiểm thước đo độ phân tán

Ôn cách đọc tần số, tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn, rồi chọn số đặc trưng phù hợp với câu hỏi.

Nhớ tiến độ trên thiết bị này

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Đổi tần số có làm đổi khoảng biến thiên?

Thời gian xử lý của hai lượt thử
Thời gian (phút)	$[0; 4)$	$[4; 8)$	$[8; 12)$
Lượt 1	$2$	$8$	$2$
Lượt 2	$4$	$4$	$4$

Ở cả hai lượt, nhóm đầu và nhóm cuối có tần số dương. Do đó khoảng biến thiên đều là

12 - 0 = 12

phút. Tuy nhiên tỉ lệ quan sát ở giữa thay đổi, nên cần tính lại tứ phân vị hoặc độ lệch chuẩn khi so độ phân tán ở giữa hay quanh số trung bình.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng

6 câu. Đọc nhóm có tần số dương, cộng dồn và chọn công thức.

Vận dụng

6 câu. Ghép các số đặc trưng để mô tả bảng số liệu.

Nâng cao

6 câu. Giải thích tác động của nhóm biên, cỡ mẫu và tiêu chí so sánh.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị · Ôn phương sai và độ lệch chuẩn · Thực hành đo và phân tích độ dài gang tay

Xác định hai nhóm có dữ liệu ở hai đầu

Dùng cận phải của nhóm cuối có tần số dương trừ cận trái của nhóm đầu có tần số dương. Thay đổi tần số mà vẫn giữ hai nhóm này thì khoảng biến thiên ghép nhóm giữ nguyên.

Nội suy từ tần số tích lũy

Tính mốc

r n / 4

với

r = 1, 2, 3

. Nếu nhóm nội suy có cận trái

L

, độ rộng

h

, tần số

m

và tần số tích lũy trước nhóm là

F

thì

Q_{r} = L + (r n / 4 - F) h / m

. Lấy

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

Tính độ phân tán quanh số trung bình

Tính số trung bình

\overset{ˉ}{x}

bằng các giá trị đại diện có trọng số là tần số. Dùng

s^{2} = \sum_{i} m_{i} (x_{i} - \overset{ˉ}{x})^{2} / n

và

s = \sqrt{s^{2}}

. Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với dữ liệu.

Dùng đúng cỡ mẫu của mỗi bảng

Nếu hai mẫu có cỡ khác nhau, xác định riêng tổng tần số

n

cho từng mẫu. Khi vẽ chung biểu đồ để so tỷ trọng, dùng tần suất

m_{i} / n

trên cùng hệ nhóm.

Nêu rõ tiêu chí và phạm vi kết luận

Khoảng tứ phân vị mô tả độ rộng của phần giữa. Độ lệch chuẩn đo mức phân tán tuyệt đối quanh trung bình. Với các lần đo cùng đại lượng, độ lệch chuẩn nhỏ hơn gợi ý kết quả lặp lại ổn định hơn trong mẫu. Cần giá trị chuẩn mới đánh giá được độ gần giá trị đúng.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · So sánh khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của hai mẫu ghép nhóm. Nếu cần mô tả độ rộng phần giữa của mẫu, hãy chọn thước đo và giải thích.

Thời gian hoàn tất hai loại nhiệm vụ
Thời gian (phút)	$[10; 14)$	$[14; 18)$	$[18; 22)$	$[22; 26)$	$[26; 30)$
Nhiệm vụ A	$1$	$5$	$8$	$5$	$1$
Nhiệm vụ B	$0$	$6$	$8$	$6$	$0$

Mở gợi ý

Hai mẫu đều có cỡ

20

. Với mỗi mẫu, tìm hai nhóm biên có dữ liệu rồi nội suy ở mốc

5

và

15

Xem lời giải và tự kiểm

Ta có

R_{A} = 30 - 10 = 20

và

R_{B} = 26 - 14 = 12

phút. Với A,

Q_{1} = 14 + \frac{5 - 1}{5} \cdot 4 = \frac{86}{5}

và

Q_{3} = 22 + \frac{15 - 14}{5} \cdot 4 = \frac{114}{5}

, nên

Δ_{Q, A} = 28 / 5 = 5,6

. Với B,

Q_{1} = 14 + \frac{5}{6} \cdot 4 = \frac{52}{3}

và

Q_{3} = 22 + \frac{15 - 14}{6} \cdot 4 = \frac{68}{3}

, nên

Δ_{Q, B} = 16 / 3 \approx 5,33

. Để mô tả phần giữa, dùng khoảng tứ phân vị. Hai khoảng tứ phân vị chênh ít hơn hai khoảng biến thiên.

Bỏ nhóm biên trống của B.
Ghi tần số tích lũy trước mỗi nhóm chứa tứ phân vị.
Giải thích thước đo bằng mục đích của phép so sánh.

Bài 2 · Trung bình và độ lệch chuẩn của hai quy trình

Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn theo bảng. Quy trình nào cho thời lượng thấp hơn về trung bình? Quy trình nào ổn định hơn theo độ lệch chuẩn?

Thời lượng xử lý thử
Thời gian (phút)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$
Quy trình A	$1$	$4$	$1$
Quy trình B	$3$	$3$	$2$

Mở gợi ý

Các điểm đại diện là ba số lẻ liên tiếp. Giữ cỡ mẫu riêng cho mỗi quy trình.

Xem lời giải và tự kiểm

Các điểm đại diện là

3, 5, 7

. Mẫu A có

n_{A} = 6

{\overset{ˉ}{x}}_{A} = 5

và

s_{A}^{2} = 8 / 6 = 4 / 3

. Mẫu B có

n_{B} = 8

{\overset{ˉ}{x}}_{B} = (9 + 15 + 14) / 8 = 19 / 4

. Ta có

s_{B}^{2} = (27 + 75 + 98) / 8 - (19 / 4)^{2} = 39 / 16

. Vậy

s_{A} = 2 / \sqrt{3} \approx 1,15

phút và

s_{B} = \sqrt{39} / 4 \approx 1,56

phút. B có thời lượng trung bình thấp hơn. A ổn định hơn theo độ lệch chuẩn.

Dùng đúng hai mẫu số.
Phân biệt phút vuông với phút.
Nêu hai kết luận riêng về trung bình và độ ổn định.

Bài 3 · Phân biệt mức ổn định và độ chính xác

Hai thiết bị cùng đo điện áp ổn định. Tính trung bình và độ lệch chuẩn từ bảng. So độ ổn định và cho biết cần thêm gì để đánh giá độ chính xác.

Kết quả đo điện áp thử nghiệm
Điện áp (V)	$[4,6; 4,8)$	$[4,8; 5,0)$	$[5,0; 5,2)$	$[5,2; 5,4)$
Thiết bị X	$1$	$5$	$5$	$1$
Thiết bị Y	$3$	$4$	$4$	$3$

Mở gợi ý

Các điểm đại diện đối xứng quanh

5

V. Dùng độ lệch

0,3

và

0,1

ở hai phía.

Xem lời giải và tự kiểm

Cả hai trung bình bằng

5

V. Ta có

s_{X}^{2} = \frac{2 (0,3)^{2} + 10 (0,1)^{2}}{12} = \frac{7}{300}

và

s_{Y}^{2} = \frac{6 (0,3)^{2} + 8 (0,1)^{2}}{14} = \frac{31}{700}

. Do đó

s_{X} \approx 0,153

V và

s_{Y} \approx 0,210

V. X có kết quả tập trung hơn trong các mẫu đang xét. Để so độ chính xác, cần đối chiếu với điện áp chuẩn của mạch.

Dùng số đo đại diện của nhóm và tần số tương ứng.
So độ lệch chuẩn khi kết luận về độ ổn định.
Chỉ rõ vai trò của giá trị chuẩn.

Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Chương III – Các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Chọn và kiểm thước đo độ phân tán

Chọn chặng

Chẩn đoán nhanh

Nền tảng

Vận dụng

Nâng cao

Luyện lại

Tổng kết

Nhận xét theo kỹ năng

Đọc lại kiến thức

Xác định hai nhóm có dữ liệu ở hai đầu

Nội suy từ tần số tích lũy

Tính độ phân tán quanh số trung bình

Dùng đúng cỡ mẫu của mỗi bảng

Nêu rõ tiêu chí và phạm vi kết luận

Tự luận trên giấy

Bài 1 · So sánh khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Bài 2 · Trung bình và độ lệch chuẩn của hai quy trình

Bài 3 · Phân biệt mức ổn định và độ chính xác