Tự luyện Toán 12 · Thực hành GeoGebra 3D – Dựng tổng ba vectơ trong không gian

Mở Máy tính 3D hoặc cửa sổ Đồ họa 3D của GeoGebra. Nhập từng dòng và nhấn Enter sau mỗi dòng. Dùng dấu phẩy trong ô nhập của phần mềm. Điểm $O$ là gốc chung, còn $A,V,W$ là ba điểm cuối. Theo thứ tự, ba vectơ có tọa độ $(3;0;0)$, $(0;2;0)$, $(1;-1;3)$. Điểm $W$ có cao độ $3$ nên bước dựng thứ hai sẽ ra khỏi mặt phẳng $(Oxy)$.

O=(0,0,0)
A=(3,0,0)
V=(0,2,0)
W=(1,-1,3)
u=Vector(O,A)
v=Vector(O,V)
w=Vector(O,W)

Qua $A$, dựng đường song song với $OV$. Qua $V$, dựng đường song song với $OA$. Gọi $E$ là giao điểm và vẽ $\overrightarrow{OE}$. Tiếp theo, qua $E$ dựng đường song song với $OW$ và qua $W$ dựng đường song song với $OE$. Gọi $F$ là giao điểm. Vẽ mũi tên từ $O$ đến $F$. Khi dùng công cụ Đường song song, có thể tạo trước các đoạn $OV$, $OA$, $OW$, $OE$ làm hướng, rồi lần lượt chọn đoạn và điểm mà đường phải đi qua. Khi dùng công cụ Giao điểm, chọn hai đường vừa dựng trong mỗi lần. Với dữ kiện này, hai cặp vectơ cạnh đều không cùng phương nên mỗi lần dựng xác định đúng một giao điểm. Em sẽ thu được $E(3;2;0)$ và $F(4;1;3)$.

l=Line(A,v)
m=Line(V,u)
E=Intersect(l,m)
e=Vector(O,E)
n=Line(E,w)
k=Line(W,e)
F=Intersect(n,k)
r=Vector(O,F)

Dùng lại các điểm và vectơ ở bước đầu. Chặng thứ nhất là $\overrightarrow{OA}$. Đặt một bản sao của $\vec{v}$ tại $A$ để được $\overrightarrow{AB}$. Đặt một bản sao của $\vec{w}$ tại $B$ để được $\overrightarrow{BC}$. Sau đó dựng $\overrightarrow{OC}$, từ đầu chặng thứ nhất đến cuối chặng thứ ba. Nếu dùng công cụ Vectơ từ một điểm, hãy chọn điểm đầu rồi chọn vectơ cần đặt vào đó. Khi xem riêng cách nối tiếp, có thể ẩn các điểm $E$ và $F$ vì chúng trùng với $B$ và $C$ tương ứng.

B=Point(A,v)
C=Point(B,w)
p=Vector(A,B)
q=Vector(B,C)
s=Vector(O,C)

Đọc $B(3;2;0)$ và $C(4;1;3)$ trong bảng Đại số. Tính độc lập $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=(3+0+1;0+2-1;0+0+3)=(4;1;3)$. Hai cách cho cùng tọa độ vectơ tổng và cùng điểm cuối vì cùng chọn $O$ làm điểm đầu. Nếu em thấy $(-4;-1;-3)$ thì hãy kiểm thứ tự hai điểm trong lệnh tạo vectơ tổng. Nếu giao điểm không xác định, kiểm hai đường đã đi qua đúng hai đầu mút và có đúng phương chưa. Khi hai vectơ đang ghép cùng phương hoặc có một vectơ bằng $\vec{0}$, dùng quy tắc nối tiếp hoặc kiểm tổng theo từng thành phần.

Giữ $O,A,V$ như ban đầu và đổi $W$ thành $(1;-1;-2)$. Trước khi sửa điểm trong GeoGebra, dự đoán cao độ của vectơ tổng và cho biết đầu mút nằm phía nào so với $(Oxy)$. Sau khi sửa, hãy đọc lại các điểm $C,F$ hoặc đối chiếu trên giấy. Kết quả tự kiểm là $C=F=(4;1;-2)$ và điểm cuối nằm dưới $(Oxy)$. Khi thay đổi điểm $W$, cả hai cách dựng tự cập nhật vì các điểm cuối được định nghĩa bằng những đối tượng đã có.