Tự luyện Toán 12 · Thực hành khảo sát GeoGebra – Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Với $f(x)=x^3-3x+2$, hãy dự đoán số điểm cực trị, số giao điểm phân biệt với trục hoành và vị trí đồ thị chạm trục hoành. Ghi dự đoán trên giấy trước khi mở công cụ. Trong Bộ máy tính GeoGebra, chọn chế độ có bảng Đại số và vùng Đồ họa. SGK trình bày thao tác tương ứng trong GeoGebra Classic, dùng CAS để tính và Graphics 2 để xem hình. Các lệnh dưới đây dùng tên tiếng Anh. Nhập từng dòng riêng và nhấn Enter sau mỗi dòng.

Dòng thứ hai đặt tên $d$ cho hàm đạo hàm $f^{\mathrm{\prime }}$. Thế $x=2$ vào $d$ để thu được $f^{\mathrm{\prime }}(2)=9$. Hàm $j$ là đạo hàm cấp hai. Từ $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-1)(x+1)$, xác định $f$ đồng biến trên $(-\mathrm{\infty };-1)$ và $(1;+\mathrm{\infty })$, nghịch biến trên $(-1;1)$. Hai điểm cực trị là $(-1;4)$ và $(1;0)$. Kiểm hai giao điểm với trục hoành bằng $f(x)=(x+2)(x-1{)}^2$. Đồ thị đi qua trục tại $(-2;0)$, chạm trục tại $(1;0)$ và cắt trục tung tại $(0;2)$. Nếu hình có nhiều đường, tắt hiển thị $d$ và $j$ để nhìn riêng đồ thị $f$.

f(x)=x^3-3*x+2
d=Derivative(f)
u=d(2)
j=Derivative(f,2)
Extremum(f)
Intersect(f,xAxis)

Trên $[0;3]$, $f$ liên tục, có đạo hàm trên $(0;3)$ và $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ tại đúng một điểm trong khoảng là $x=1$. Thế hai đầu mút và điểm dừng. Dùng hai lệnh dưới đây để so sánh các giá trị đã tìm. GTNN bằng $0$ tại $x=1$, còn GTLN bằng $20$ tại $x=3$. Trong CAS, SGK dùng dạng lệnh Min hoặc Max với hàm số và hai đầu mút. Để xác nhận giá trị toàn đoạn, hãy đối chiếu bằng danh sách các giá trị ứng viên, kể cả ở đầu mút. Khi khảo sát một hàm số khác, xét thêm điểm trong đoạn nơi hàm xác định nhưng đạo hàm không tồn tại.

Min({f(0),f(1),f(3)})
Max({f(0),f(1),f(3)})

Trước khi nhập $g(x)=x+2+4\mathrm{/}(x-1)$, xác định tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Khi $x$ tiến đến $1$ từ trái, $g(x)\to -\mathrm{\infty }$. Khi $x$ tiến đến $1$ từ phải, $g(x)\to +\mathrm{\infty }$. Hiệu $g(x)-(x+2)=4\mathrm{/}(x-1)$ tiến về $0$ khi $x\to \pm \mathrm{\infty }$. Vì thế đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+2$. Dấu của hiệu còn chỉ ra nhánh trái nằm dưới đường xiên và nhánh phải nằm trên. Khi nhập lệnh, có thể ẩn các đối tượng của $f$ hoặc mở một phiên đồ thị mới. Nếu ứng dụng đang dùng thiếu lệnh Asymptote, chuyển sang Bộ máy tính hoặc GeoGebra Classic. Có thể nhập hai phương trình đường thẳng sau khi kiểm bằng giới hạn.

g(x)=x+2+4/(x-1)
Asymptote(g)

Với $h(x)=\sqrt{x^2+4}$, hãy dự đoán miền xác định, tung độ nhỏ nhất và hướng hai nhánh. Ta có $h(x)\ge 2$ với dấu bằng tại $x=0$, và Vì $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ với $x\ge 0$ và $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$ với $x<0$, đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$ ở phía phải và $y=-x$ ở phía trái. Nhập lệnh Asymptote và đợi kết quả ổn định. Với ví dụ này, GeoGebra trả về cả hai đường. Đối chiếu từng đường bằng phép tính giới hạn. Hai dòng cuối cho phép vẽ riêng hai đường thẳng khi cần. Khi làm xong, lưu lại dự đoán, kết quả phần mềm và một phép tính giải thích điểm giống hoặc khác.

h(x)=sqrt(x^2+4)
Asymptote(h)
y=x
y=-x