Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Chương I – Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Tìm miền xác định trước. Với hai phân thức, đọc giới hạn tại điểm loại và phần thương tại vô cực. Đối với $h$, đặt $z=x-1$ để tìm cực trị và giao điểm với các trục.

Hàm $f$ có $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(1-x^2)$. Khi $x$ đi từ $-\mathrm{\infty }$ tới $+\mathrm{\infty }$, $f$ giảm từ $+\mathrm{\infty }$ đến $-2$ tại $x=-1$, tăng đến $2$ tại $x=1$, rồi giảm về $-\mathrm{\infty }$. Đồ thị đi qua gốc và hai điểm trên trục hoành có hoành độ $\pm \sqrt{3}$. Hàm $g$ giảm trên hai khoảng xác định, từ $1$ xuống $-\mathrm{\infty }$ bên trái $-1$, và từ $+\mathrm{\infty }$ xuống $1$ bên phải. Tiệm cận là $x=-1$ và $y=1$. Đồ thị cắt trục hoành tại $(-3;0)$ và trục tung tại $(0;3)$. Với $z=x-1$, ta có $h=z+4\mathrm{/}z$ và $h^{\mathrm{\prime }}=1-4\mathrm{/}{z}^2$. Nhánh trái tăng từ $-\mathrm{\infty }$ đến $-4$ tại $x=-1$ rồi giảm về $-\mathrm{\infty }$ khi $x\to 1^{-}$. Nhánh phải giảm từ $+\mathrm{\infty }$ đến $4$ tại $x=3$ rồi tăng về $+\mathrm{\infty }$. Tiệm cận là $x=1$ và $y=x-1$. Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-5)$ và không cắt trục hoành vì $z^2+4>0$. Khi vẽ, dùng các khoảng đơn điệu để nối các điểm trên từng nhánh, dừng tại tiệm cận đứng.

Xét dấu $f^{\mathrm{\prime }}$. Với $g$, lập danh sách gồm hai đầu mút và các nghiệm của $g^{\mathrm{\prime }}$ nằm trong đoạn.

Ta có $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3(4\ln x+1)$. Dấu đạo hàm đổi từ âm sang dương tại $x=e^{-1\mathrm{/}4}$, nên đây là hoành độ tại cực tiểu. Tại đó $x^4=e^{-1}$ và $\ln x=-1\mathrm{/}4$, do đó giá trị cực tiểu bằng $-1\mathrm{/}(4e)$. Đối với $g$, ta có $g^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-2)(4-x)e^{-x}$. Hai điểm dừng trong đoạn là $2$ và $4$. Các giá trị cần so sánh là $g(1)=e^{-1}$, $g(2)=0$, $g(4)=4e^{-4}$ và $g(5)=9e^{-5}$. Vì $e^3>4$ và $e^4>9$, giá trị lớn nhất là $e^{-1}$ tại $1$. Giá trị nhỏ nhất là $0$ tại $2$.

Chọn $x=BM$. Viết tổng chi phí, đạo hàm và kiểm tra nghiệm của đạo hàm có thuộc $[0;9]$ hay không.

Đặt $x=BM$. Từ $AM=9-x$ và $MC=\sqrt{x^2+64}$, chi phí là $C(x)=3(9-x)+5\sqrt{x^2+64}$ trên $[0;9]$. Ta có $C^{\mathrm{\prime }}(x)=-3+5x\mathrm{/}\sqrt{x^2+64}$. Trên miền này, $C^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ tương đương $5x=3\sqrt{x^2+64}$, cho $x=6$. Do $x\mathrm{/}\sqrt{x^2+64}$ tăng trên $[0;9]$, đạo hàm âm trước $6$ và dương sau $6$. Vì vậy $AM=3$ km, $MC=10$ km và chi phí nhỏ nhất là $3\cdot 3+5\cdot 10=59$ triệu đồng.