Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Tập một – Chương I–III

TOÁN 12 · TẬP MỘT · ÔN TẬP TẬP MỘT

Ôn khảo sát hàm số, vectơ và số liệu ghép nhóm

Mỗi lượt ngắn xen kẽ cả ba chương. Dùng phần chẩn đoán để chọn chặng rồi luyện lại theo kỹ năng còn vướng.

Nhớ tiến độ trên thiết bị này

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Chọn kỹ năng và chặng ôn

Chương I · Chọn bước kiểm trước khi tính

Khi tìm cực trị, xét dấu đạo hàm ở hai phía của điểm dừng. Khi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một đoạn mà hàm số liên tục, thêm hai đầu mút vào danh sách cần so sánh. Khi tìm tiệm cận đứng, kiểm giới hạn một phía tại điểm loại khỏi tập xác định. Chẳng hạn,

h (x) = (x^{2} - 1) / (x - 1)

không xác định tại

1

, còn giới hạn tại đó bằng

2

vì

h (x) = x + 1

khi

x \neq 1

. Do vậy

x = 1

không là tiệm cận đứng.

Chương II · Viết hai vectơ trước khi tính góc

Để tính góc

\hat{B A C}

, đặt

\vec{u} = \vec{A B}

và

\vec{v} = \vec{A C}

. Kiểm tra cả hai vectơ khác

\vec{0}

rồi tính

\cos \hat{B A C} = (\vec{u} \cdot \vec{v}) / (∣ \vec{u} ∣ ∣ \vec{v} ∣)

. Nếu dùng

\vec{B A}

thay

\vec{A B}

, tích vô hướng đổi dấu và góc nhận được là góc bù của

\hat{B A C}

Chương III · Đọc hai mẫu theo cùng một tiêu chí

Hai hàng tần số dưới đây đều đối xứng qua nhóm giữa nên trung bình bằng

8

phút. Hai mẫu cùng khoảng biến thiên

6

phút. Các giá trị đại diện ở hai nhóm ngoài cách trung bình

2

phút. Vì vậy phương sai của mẫu A là

16 / 10

phút vuông, còn của mẫu B là

32 / 10

phút vuông. Mẫu A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn trong lần đo này.

Thời gian cài đặt hai cấu hình
Thời gian (phút)	$[5; 7)$	$[7; 9)$	$[9; 11)$
Cấu hình A	$2$	$6$	$2$
Cấu hình B	$4$	$2$	$4$

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Kiểm điều kiện trước khi kết luận

Trên

[0; 2]

, hàm

f (x) = x^{2} - 2 x + 3

có

f^{'} (x) = 0

tại

x = 1

. So sánh

f (0) = 3

f (1) = 2

f (2) = 3

để thấy GTNN bằng

2

và GTLN bằng

3

. Cùng một GTLN có thể đạt tại nhiều điểm.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

5 câu. Nhắc lại các khái niệm và quy tắc.

Nền tảng 2

4 câu. Ôn thêm với dữ kiện khác.

Vận dụng 1

5 câu. Kết hợp phép tính với cách đọc dữ liệu.

Vận dụng 2

4 câu. Giải bài phối hợp nhiều bước.

Nâng cao 1

5 câu. Kiểm từng giả thiết trước khi kết luận.

Nâng cao 2

4 câu. Thử các tình huống cần xét ngoại lệ và biện luận.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn tập Chương I · Ôn tập Chương II · Ôn tập Chương III · Thực hành khảo sát bằng GeoGebra

Dùng dấu đạo hàm để nhận ra cực trị

Tìm miền xác định, xác định các mốc xét dấu rồi đọc sự đổi dấu của

f^{'}

. Khi tìm GTLN hoặc GTNN trên đoạn, so sánh thêm giá trị ở hai đầu mút.

Dùng điều kiện của bài toán khi đọc đồ thị

Kiểm giới hạn để nhận dạng tiệm cận. Trong bài toán tối ưu, lập hàm mục tiêu và xác định miền giá trị của biến trước khi so sánh các giá trị.

Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu

Nếu

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

và

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

thì

\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})

. Tính tổng hoặc hiệu theo từng thành phần.

Tính tích vô hướng rồi chuẩn hóa khi tìm góc

Với hai vectơ khác vectơ không,

\cos θ = (\vec{u} \cdot \vec{v}) / (∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥)

. Tích vô hướng bằng

0

khi hai vectơ khác vectơ không vuông góc.

Đọc tần số trước khi chọn thước đo

Tính tần số tích lũy để nội suy tứ phân vị. Dùng trung điểm nhóm để tính số trung bình và phương sai ghép nhóm. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với dữ liệu, còn phương sai có đơn vị bình phương.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Chương I · Tối ưu diện tích dưới một đường cong

Với

x \in (0; 4)

, một hình chữ nhật có bốn đỉnh

(0; 0)

(x; 0)

(x; 16 - x^{2})

và

(0; 16 - x^{2})

. Lập hàm diện tích, tìm kích thước cho diện tích lớn nhất và giải thích vì sao kết quả là giá trị lớn nhất trên toàn miền.

Mở gợi ý

Dùng

S (x) = x (16 - x^{2})

và kiểm dấu của

S^{'}

trước, sau điểm dừng trong

(0; 4)

Xem lời giải và tự kiểm

Hai cạnh dài

x

và

16 - x^{2}

. Ta có

S^{'} (x) = 16 - 3 x^{2}

, dương trên

(0; 4 / \sqrt{3})

và âm trên

(4 / \sqrt{3}; 4)

. Vì thế

S

đạt giá trị lớn nhất khi

x = 4 / \sqrt{3}

. Cạnh còn lại dài

32 / 3

, và diện tích lớn nhất bằng

128 / (3 \sqrt{3})

. Hai đầu mút của đoạn

[0; 4]

cho diện tích bằng

0

nếu xét hàm kéo dài tới đó.

Chỉ nhận nghiệm của $S^{'} = 0$ thuộc $(0; 4)$ .
Nêu chiều đổi dấu của đạo hàm trên cả hai khoảng.
Thay $x = 4 / \sqrt{3}$ vào cả chiều cao và công thức diện tích.

Bài 2 · Chương II · Xác định điểm trên đoạn và góc

Trong

O x y z

, cho

A (1; 0; 2)

B (5; 2; 0)

và

C (3; 4; 2)

. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc

H

của

C

lên đường thẳng

A B

và kiểm tra

H

có thuộc đoạn

A B

không. Tính

C H

và

\cos \hat{B A C}

Mở gợi ý

Đặt

\vec{A H} = t \vec{A B}

. Dùng

(\vec{A C} - t \vec{A B}) \cdot \vec{A B} = 0

rồi kiểm

0 \leq t \leq 1

Xem lời giải và tự kiểm

Ta có

\vec{A B} = (4; 2; - 2)

\vec{A C} = (2; 4; 0)

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 16

và

∣ \vec{A B} ∣^{2} = 24

. Điều kiện vuông góc cho

16 - 24 t = 0

, nên

t = 2 / 3

. Do

0 < 2 / 3 < 1

H (11 / 3; 4 / 3; 2 / 3)

nằm trong đoạn

A B

. Từ

\vec{H C} = (- 2 / 3; 8 / 3; 4 / 3)

, suy ra

C H = 2 \sqrt{21} / 3

. Vì

∣ \vec{A C} ∣ = 2 \sqrt{5}

và

∣ \vec{A B} ∣ = 2 \sqrt{6}

, ta được

\cos \hat{B A C} = 4 / \sqrt{30}

Vectơ $\vec{H C}$ vuông góc với $\vec{A B}$ .
Điểm thuộc đoạn $A B$ khi $0 \leq t \leq 1$ .
Góc $\hat{B A C}$ dùng hai vectơ cùng gốc $A$ .

Bài 3 · Chương III · Hai mẫu cùng trung bình

Bảng ghi khối lượng gói của hai máy trong một ca. Với mỗi mẫu ghép nhóm, tính số trung bình, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn. Theo hai thước đo

Δ_{Q}

và

s

, máy nào cho kết quả ít phân tán hơn trong ca này?

Khối lượng gói trong một ca
Khối lượng (g)	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$
Máy A	$4$	$12$	$4$
Máy B	$6$	$8$	$6$

Mở gợi ý

Cả hai cỡ mẫu đều bằng

20

. Dùng mốc

5

và

15

cho tứ phân vị, dùng các giá trị đại diện

9

11

13

khi tính phương sai.

Xem lời giải và tự kiểm

Do mỗi hàng đối xứng qua nhóm giữa,

{\overset{ˉ}{x}}_{A} = {\overset{ˉ}{x}}_{B} = 11

g. Hai nhóm biên đều có dữ liệu nên

R_{A} = R_{B} = 14 - 8 = 6

g. Ở A,

Q_{1} = 10 + (5 - 4) \cdot 2 / 12 = 61 / 6

Q_{3} = 10 + (15 - 4) \cdot 2 / 12 = 71 / 6

, nên

Δ_{Q, A} = 5 / 3

g. Ở B,

Q_{1} = 8 + 5 \cdot 2 / 6 = 29 / 3

Q_{3} = 12 + (15 - 14) \cdot 2 / 6 = 37 / 3

, nên

Δ_{Q, B} = 8 / 3

g. Các phương sai lần lượt bằng

32 / 20 = 8 / 5

và

48 / 20 = 12 / 5

g^{2}

. Suy ra

s_{A} = \sqrt{8 / 5}

g và

s_{B} = \sqrt{12 / 5}

g. Cả hai tiêu chí đều cho thấy khối lượng của mẫu A ít phân tán hơn trong ca đang xét.

Dùng tần số tích lũy riêng cho từng mẫu để chọn nhóm nội suy $Q_{1}$ , $Q_{3}$ .
Phương sai tính theo đơn vị $g^{2}$ . Độ lệch chuẩn tính theo g.
Kết luận giới hạn ở hai mẫu đã cho.

Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Tập một – Chương I–III

Ôn khảo sát hàm số, vectơ và số liệu ghép nhóm

Chọn kỹ năng và chặng ôn

Chương I · Chọn bước kiểm trước khi tính

Chương II · Viết hai vectơ trước khi tính góc

Chương III · Đọc hai mẫu theo cùng một tiêu chí

Chọn chặng

Chẩn đoán nhanh

Nền tảng 1

Nền tảng 2

Vận dụng 1

Vận dụng 2

Nâng cao 1

Nâng cao 2

Luyện lại

Tổng kết

Nhận xét theo kỹ năng

Đọc lại kiến thức

Dùng dấu đạo hàm để nhận ra cực trị

Dùng điều kiện của bài toán khi đọc đồ thị

Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu

Tính tích vô hướng rồi chuẩn hóa khi tìm góc

Đọc tần số trước khi chọn thước đo

Tự luận trên giấy

Bài 1 · Chương I · Tối ưu diện tích dưới một đường cong

Bài 2 · Chương II · Xác định điểm trên đoạn và góc

Bài 3 · Chương III · Hai mẫu cùng trung bình