Tự luyện Toán 12 · Bài 5 – Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

TOÁN 12 · TẬP MỘT · CHƯƠNG I · BÀI 5

Từ tốc độ thay đổi đến quyết định tối ưu

Đọc vận tốc, tính chi phí biên và chọn phương án đạt doanh thu hoặc lợi nhuận tốt nhất trong miền cho phép.

Nhớ tiến độ trên thiết bị này

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · So sánh phương án liên tục với phương án nguyên

Lợi nhuận của một cơ sở là

P (n) = 100 - (n - 6,4)^{2}

triệu đồng, với

n \in {0, 1, \dots, 9}

. Nếu coi

n

là biến thực thì đỉnh ở

6,4

. Trên miền nguyên, chỉ cần so sánh

P (6) = 99,84

và

P (7) = 99,64

vì càng xa

6,4

thì bình phương càng lớn. Lợi nhuận lớn nhất đạt ở

n = 6

Đọc lại kiến thức

Ôn dấu đạo hàm và cực trị · Ôn cách so sánh giá trị trên miền

Tọa độ, vận tốc và tốc độ

Với tọa độ

s (t)

, vận tốc là

v = s^{'}

và gia tốc là

a = v^{'}

. Dấu của

v

cho hướng chuyển động. Khi

v \neq 0

, tốc độ

∣ v ∣

tăng nếu

v

và

a

cùng dấu và giảm nếu chúng trái dấu, trên các khoảng có dấu tương ứng. Để tính quãng đường, chia tại các mốc đổi chiều rồi cộng độ lớn của từng độ dời.

Đạo hàm và chi phí của sản phẩm tiếp theo

Chi phí biên tại

x

là

C^{'} (x)

, có đơn vị chi phí trên mỗi sản phẩm. Chi phí tăng chính xác khi sản xuất thêm một sản phẩm là

C (x + 1) - C (x)

. Đạo hàm có thể dùng để ước lượng độ tăng này.

Doanh thu và lợi nhuận

Với lượng bán

x

và giá mỗi sản phẩm

p (x)

, doanh thu là

R (x) = x p (x)

. Nếu chi phí là

C (x)

thì lợi nhuận là

P (x) = R (x) - C (x)

. Quy đổi giá và chi phí về cùng đơn vị trước khi tính.

Xét miền trước khi chọn phương án

Xác định các giá trị của biến có nghĩa trong tình huống. Trên một đoạn kín, so sánh giá trị tại các đầu mút và điểm dừng hoặc không khả vi bên trong. Nếu biến là số nguyên, dùng chiều biến thiên để xác định các số nguyên cần kiểm tra.

Từ giá đến lượng cầu

Nếu mô hình cho giá

p

theo số lượng

x

, giải phương trình để biểu diễn

x

theo

p

trên miền giá tương ứng. Khi lấy giới hạn, đi về phía được phép và diễn giải kết quả theo đơn vị của đại lượng trong mô hình.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Cắt vật liệu để làm khay có thể tích cố định

Một khay hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy vuông cạnh

x

cm, chứa được

500 {cm}^{3}

. Bỏ qua bề dày tấm vật liệu. Máy chỉ làm được cạnh đáy từ

8

đến

12

cm. Hãy xác định kích thước để diện tích vật liệu nhỏ nhất. Nếu thay máy bằng loại chỉ làm được cạnh đáy từ

8

đến

9

cm, kích thước tối ưu thay đổi thế nào?

Mở gợi ý

Gọi

h

là chiều cao. Từ

x^{2} h = 500

, biểu diễn

h

theo

x

, rồi tính diện tích đáy và bốn mặt bên. Kiểm tra nghiệm của đạo hàm trong từng miền.

Xem lời giải và tự kiểm

Từ

x^{2} h = 500

suy ra

h = 500 / x^{2}

. Tổng diện tích vật liệu tính bằng

{cm}^{2}

là

A (x) = x^{2} + 4 x h = x^{2} + \frac{2000}{x} .

Vì

A^{'} (x) = 2 (x^{3} - 1000) / x^{2}

, đạo hàm âm khi

0 < x < 10

và dương khi

x > 10

. Trên

[8; 12]

, diện tích giảm đến

x = 10

rồi tăng. Cạnh đáy tối ưu là

10

cm, chiều cao là

5

cm và diện tích là

300 {cm}^{2}

. Trên

[8; 9]

, đạo hàm âm trên cả khoảng trong đoạn nên diện tích nhỏ nhất tại đầu mút

x = 9

. Khi đó chiều cao là

500 / 81

cm và diện tích là

2729 / 9 {cm}^{2}

Biểu diễn đúng chiều cao theo cạnh đáy từ điều kiện thể tích.
Tính diện tích của một đáy và bốn mặt bên.
Giải phương trình $A^{'} (x) = 0$ và xét dấu đạo hàm.
Chọn được điểm trong đoạn ở trường hợp đầu và đầu mút ở trường hợp đổi máy.

Bài 2 · Chọn điểm cập bờ để đến đích sớm nhất

Một hồ nước có hai bờ thẳng song song, cách nhau

6

km. Người đi thuyền xuất phát tại

A

. Gọi

C

là chân đường vuông góc từ

A

đến bờ đối diện. Đích

B

trên bờ đối diện cách

C

11

km. Người này chèo theo đường thẳng đến một điểm

D

trên đoạn

C B

với tốc độ

8

km/h, sau đó chạy từ

D

đến

B

với tốc độ

10

km/h. Bỏ qua dòng chảy. Hãy tìm vị trí

D

và thời gian nhỏ nhất.

Mở gợi ý

Đặt

x = C D

và phác tam giác vuông

A C D

. Viết tổng thời gian chèo và chạy theo

x \in [0; 11]

Xem lời giải và tự kiểm

Với

x = C D

tính theo km, ta có

0 \leq x \leq 11

A D = \sqrt{36 + x^{2}}

và

D B = 11 - x

. Tổng thời gian tính theo giờ là

T (x) = \frac{\sqrt{36 + x^{2}}}{8} + \frac{11 - x}{10} .

Phương trình

T^{'} (x) = 0

tương đương

x / \sqrt{36 + x^{2}} = 4 / 5

. Hai vế không âm, nên bình phương cho

25 x^{2} = 16 (36 + x^{2})

, từ đó

x = 8

. Thương

x / \sqrt{36 + x^{2}}

tăng trên

[0; 11]

vì đạo hàm của thương là

36 / (36 + x^{2})^{3 / 2} > 0

. Vậy

T

giảm trên

[0; 8]

và tăng trên

[8; 11]

. Người đó nên cập bờ tại điểm

D

cách

C

8

km về phía

B

. Thời gian nhỏ nhất là

10 / 8 + 3 / 10 = 31 / 20

giờ, tức

1

giờ

33

phút.

Giữ đúng miền $[0; 11]$ và đọc được hai quãng đường từ hình phác.
Đổi từng quãng đường thành thời gian theo đúng tốc độ.
Kiểm tra nghiệm của đạo hàm và xét cả hai phía trong miền.
Trả lời bằng vị trí trên bờ và thời gian theo giờ hoặc phút.

Tự luyện Toán 12 · Bài 5 – Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Từ tốc độ thay đổi đến quyết định tối ưu

Chọn chặng

Chẩn đoán nhanh

Nền tảng

Vận dụng

Nâng cao

Luyện lại

Tổng kết

Nhận xét theo kỹ năng