Tự luyện Toán 12 · Bài 13 – Ứng dụng hình học của tích phân

TOÁN 12 · TẬP HAI · CHƯƠNG IV · BÀI 13

Từ miền giới hạn và tiết diện đến diện tích, thể tích

Tìm cận từ hình hoặc giao điểm, xét thứ tự hai đường biên và chọn công thức theo hình dạng của tiết diện.

Nhớ tiến độ trên thiết bị này

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Cách làm và ví dụ

Đọc cận và kiểm tra đường nào nằm trên

Nếu miền nằm giữa đồ thị

y = f (x)

và trục hoành trên

[a; b]

, diện tích là

\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

. Với hai đồ thị, thay

f (x)

trong công thức bằng hiệu

f (x) - g (x)

. Khi đề chưa cho cận, tìm hoành độ giao điểm để xác định các đầu mút của miền kín. Nếu hai đồ thị đổi thứ tự trong miền cần tính, tách tích phân tại điểm đổi thứ tự. Chẳng hạn, với

f (x) = x^{2}

và

g (x) = x

trên

[0; 2]

, hai đồ thị cắt nhau tại

x = 0

và

x = 1

. Miền A ứng với

0 < x < 1

có

g (x) > f (x)

, còn miền B ứng với

1 < x < 2

có

f (x) > g (x)

. Do đó

S = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1.

Hai miền giới hạn bởi

y = x^{2}

và

y = x

trên

[0; 2]

Mô tả phần chênh bằng diện tích

Trong một mô hình Lorenz giả định,

x

là tỉ phần số hộ đã xếp theo thu nhập tăng dần và

L (x) = x^{4}

là tỉ phần thu nhập tích lũy của các hộ đó. Hai đại lượng đều tính trên thang từ

0

đến

1

. Đường

y = x

biểu diễn phân phối đều. Do

x^{4} \leq x

trên

[0; 1]

, diện tích giữa đường phân phối đều và đồ thị

L

là

S = \int_{0}^{1} (x - x^{4}) d x = \frac{3}{10} .

Nếu đổi thang của cả hai trục sang từ

0

đến

100

, mỗi chiều dài trên đồ thị tăng

100

lần, nên số đo diện tích thay đổi theo hệ số

100^{2}

Lập diện tích của một mặt cắt

Cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với

O x

tại hoành độ

x

. Nếu diện tích mặt cắt là

S (x)

và

S

liên tục trên

[a; b]

, thể tích phần vật thể giữa hai mặt phẳng đầu mút bằng

\int_{a}^{b} S (x) d x

. Ví dụ, giả sử các mặt cắt của một vật thể trên

[0; 2]

là hình vuông có cạnh

x + 1

cm khi

x

tính bằng cm. Khi đó

S (x) = (x + 1)^{2}

cm², nên

V = \int_{0}^{2} (x + 1)^{2} d x = {[\frac{(x + 1)^{3}}{3}]}_{0}^{2} = \frac{26}{3} {(cm}^{3}) .

Hình minh họa một mặt cắt ở giữa, với cạnh

x + 1

. Công thức tích phân cộng đóng góp của các mặt cắt trên toàn đoạn.

Mặt cắt hình vuông tại hoành độ

x

có cạnh

x + 1

Quay quanh trục hoành và tính thể tích chỏm cầu

Khi quay miền

0 \leq y \leq f (x)

quanh

O x

, mặt cắt vuông góc với

O x

là hình tròn bán kính

f (x)

. Vì thế

V = π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x .

Với chỏm cầu bán kính

R

và chiều cao

h

thỏa

0 < h \leq R

, quay miền dưới cung

y = \sqrt{R^{2} - x^{2}}

trên

[R - h; R]

. Diện tích mặt cắt là

π (R^{2} - x^{2})

, nên

V = π {[R^{2} x - \frac{x^{3}}{3}]}_{R - h}^{R} = π h^{2} (R - \frac{h}{3}) .

Kiểm công thức tại

h = R

. Khi đó

V = 2 π R^{3} / 3

, bằng thể tích nửa khối cầu bán kính

R

Miền sinh chỏm cầu khi quay quanh

O x

. Hình lấy

R = 4

và

h = 2

để minh họa.

Mở rộng với mặt cắt hình vành khăn

Giả sử

0 \leq r (x) \leq R (x)

trên đoạn xét. Quay miền

r (x) \leq y \leq R (x)

quanh

O x

tạo mặt cắt hình vành khăn có diện tích

π R (x)^{2} - π r (x)^{2}

. Với

R (x) = x + 2

và

r (x) = 1

trên

[0; 2]

, bán kính ngoài tăng theo

x

, còn bán kính trong giữ nguyên. Do đó

V = π \int_{0}^{2} ((x + 2)^{2} - 1) d x = \frac{50 π}{3} .

Độ dày của vành là

R (x) - r (x)

. Khi tính diện tích mặt cắt, lấy diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ.

Miền quay trên

[0; 2]

và mặt cắt có bán kính ngoài

R (1) = 3

, bán kính trong

r (1) = 1

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Chia đoạn khi hai đường đổi thứ tự

Trên

[- 1; 2]

, hai đồ thị

y = 2 x

và

y = 0

đổi thứ tự tại

0

. Diện tích bằng

\int_{- 1}^{0} (- 2 x) d x + \int_{0}^{2} 2 x d x = 1 + 4 = 5

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

3 câu. Đọc miền tô, cận và khoảng cách giữa hai đường.

Ví dụ đọc cận

Miền bị chặn bởi

x = 1

x = 3

y = 0

và

y = 2

có diện tích

\int_{1}^{3} 2 d x = 4

Nền tảng 2

3 câu. Nhận dạng bán kính và diện tích tiết diện.

Ví dụ nhận bán kính

Khi quay miền giữa

y = \sqrt{x + 1}

và

y = 0

trên

[0; 3]

quanh

O x

, tiết diện tại

x

là hình tròn bán kính

\sqrt{x + 1}

, nên

A (x) = π (x + 1)

Vận dụng 1

3 câu. Tự đặt cận và kiểm thứ tự hai đồ thị.

Ví dụ xác định cận từ giao điểm

Từ

4 x = x^{2}

suy ra

x = 0

hoặc

x = 4

. Trên

[0; 4]

ta có

4 x \geq x^{2}

, nên diện tích là

\int_{0}^{4} (4 x - x^{2}) d x = 32 / 3

Vận dụng 2

3 câu. Lập tiết diện cho vật thể và khối tròn xoay.

Ví dụ lập diện tích tiết diện

Nếu tiết diện vuông góc với

O x

tại

x

là hình chữ nhật có hai cạnh

x + 1

và

2

trên

[0; 2]

, thì

V = \int_{0}^{2} 2 (x + 1) d x = 8

Nâng cao 1

3 câu. Kiểm điều kiện tách miền, dấu và phép so sánh.

Ví dụ kiểm dấu bằng hiệu hai hàm

Với hai đường

y = x^{2}

và

y = 4

, hiệu

x^{2} - 4

đổi dấu tại

- 2

và

2

. Trên

[- 3; 3]

, hai phần ngoài có cùng diện tích. Do đó

S = 2 \int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x + \int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x = 2 \cdot 7 / 3 + 32 / 3 = 46 / 3

Nâng cao 2

3 câu. Tính thể tích có phần rỗng và xét sự thay đổi theo tham số.

Ví dụ tính phần rỗng

Khi quay miền giữa

y = 3

và

y = 1

trên

[0; 2]

quanh

O x

, diện tích mỗi tiết diện là

π (3^{2} - 1^{2}) = 8 π

. Thể tích bằng

16 π

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn Bài 12 · Tích phân · Ôn Bài 11 · Nguyên hàm

Xác định miền theo các đường biên

Chiếu miền lên

O x

để nhận đoạn

[a; b]

. Nếu hai đường biên gặp nhau ở đầu miền thì giải phương trình giao điểm và chọn đúng hoành độ của miền đang xét.

Chia tại điểm mà thứ tự đường biên thay đổi

Diện tích giữa

y = f (x)

và

O x

là

\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

. Tách tại các điểm đổi dấu của

f

rồi viết biểu thức không âm trên từng đoạn.

Lấy tung độ đường trên trừ tung độ đường dưới

Với hai hàm liên tục

f

và

g

, dùng

\int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x

. Giải

f (x) = g (x)

, rồi thử dấu hiệu

f - g

trên từng đoạn để xác định đúng đường trên.

Viết diện tích mặt cắt theo hoành độ

Nếu

A (x)

là diện tích tiết diện vuông góc với

O x

tại

x \in [a; b]

thì

V = \int_{a}^{b} A (x) d x

. Chẳng hạn tiết diện vuông cạnh

d (x)

có diện tích

d (x)^{2}

. Nếu kích thước đo bằng centimet thì thể tích tính theo

{c m}^{3}

Đo bán kính từ trục quay

Nếu tiết diện là hình tròn bán kính

R (x)

thì

A (x) = π R (x)^{2}

. Nếu tiết diện là vành khăn với

0 \leq r (x) \leq R (x)

, thì

A (x) = π [R (x)^{2} - r (x)^{2}]

. Tích phân

A (x)

trên đoạn mà khối chiếm theo trục quay.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Chia miền khi hai đồ thị đổi thứ tự

Tính diện tích hình phẳng giữa

y = 4 - x^{2}

và

y = x + 2

trên đoạn

[- 3; 2]

. Tìm các khoảng mà mỗi đồ thị nằm trên đồ thị kia và lập tích phân trên từng phần.

Mở gợi ý

Hiệu hai tung độ là

h (x) = 2 - x - x^{2} = - (x + 2) (x - 1)

. Xét dấu của

h

khi qua hai nghiệm.

Xem lời giải và tự kiểm

Hai đồ thị có cùng tung độ tại

x = - 2

và

x = 1

. Parabol ở trên đường thẳng giữa hai nghiệm, còn đường thẳng ở trên ở hai khoảng ngoài. Với

H (x) = 2 x - x^{2} / 2 - x^{3} / 3

là một nguyên hàm của

h

, ta có

\begin{aligned} S & = - [H (- 2) - H (- 3)] + [H (1) - H (- 2)] - [H (2) - H (1)] \\ = \frac{11}{6} + \frac{9}{2} + \frac{11}{6} = \frac{49}{6} . \end{aligned}

Tìm được hai hoành độ giao điểm $- 2$ và $1$ bên trong đoạn đã cho.
Lập đúng ba tích phân với dấu tương ứng $-, +, -$ đối với $h$ .
Ba diện tích thành phần đều dương và tổng bằng $49 / 6$ đơn vị diện tích.

Bài 2 · Tính thể tích từ mặt cắt hình chữ nhật

Một vật thể có đáy là miền phẳng giới hạn bởi

y = x^{2}

và

y = 2 x

trên đoạn

[0; 2]

. Tại mỗi

x

với

0 < x < 2

, mặt cắt vuông góc với

O x

là hình chữ nhật. Cạnh nằm trong mặt đáy là đoạn nối hai đồ thị tại hoành độ

x

, còn chiều cao mặt cắt bằng

x + 1

. Hãy lập công thức diện tích mặt cắt và tính thể tích.

Mở gợi ý

Cạnh nằm trong đáy có độ dài

2 x - x^{2}

. Diện tích mỗi mặt cắt là tích của hai kích thước được cho.

Xem lời giải và tự kiểm

Với

x \in [0; 2]

, ta có

2 x \geq x^{2}

, nên chiều rộng mặt cắt là

2 x - x^{2}

. Chiều cao là

x + 1

. Từ đó

S (x) = (2 x - x^{2}) (x + 1) = x^{2} + 2 x - x^{3}

và

V = \int_{0}^{2} S (x) d x = {[\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - \frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{2} = \frac{8}{3} .

Xác định đúng độ dài cạnh nằm trong đáy bằng cách lấy tung độ trên trừ tung độ dưới.
Dùng công thức diện tích hình chữ nhật, với chiều cao $x + 1$ .
Tích phân theo $x$ từ $0$ đến $2$ và ghi kết quả $8 / 3$ đơn vị thể tích.

Bài 3 · Chỏm cầu sau khi khoan dọc trục

Trong hệ tọa độ theo xentimét, một chỏm cầu thuộc khối cầu tâm

O

, bán kính

5

, nằm trong khoảng

3 \leq x \leq 5

. Người ta khoan bỏ toàn bộ phần của chỏm nằm trong hình trụ có trục

O x

và bán kính

3

. Tìm khoảng hoành độ mà phần còn lại có mặt cắt diện tích dương, rồi tính thể tích còn lại.

Mở gợi ý

Tại

x

, bán kính mặt cắt của chỏm là

\sqrt{25 - x^{2}}

. So sánh bán kính này với bán kính lỗ để tìm cận trên của phần còn lại.

Xem lời giải và tự kiểm

Phần còn lại có mặt cắt diện tích dương khi

25 - x^{2} > 9

, tức là

3 \leq x < 4

trong khoảng đang xét. Khi đó mặt cắt là vành khăn có diện tích

π ((25 - x^{2}) - 9) = π (16 - x^{2})

. Tại

x = 4

diện tích bằng

0

, và với

4 < x \leq 5

không còn phần vật liệu nào. Vì vậy

V = π {[16 x - \frac{x^{3}}{3}]}_{3}^{4} = \frac{11 π}{3} {c m}^{3} .

Tìm đúng mốc $x = 4$ từ điều kiện bán kính ngoài bằng bán kính lỗ.
Lập diện tích vành khăn bằng hiệu hai diện tích hình tròn.
Tích phân trên $[3; 4]$ và ghi thể tích theo ${c m}^{3}$ .

Tự luyện Toán 12 · Bài 13 – Ứng dụng hình học của tích phân

Từ miền giới hạn và tiết diện đến diện tích, thể tích

Cách làm và ví dụ

Đọc cận và kiểm tra đường nào nằm trên

Mô tả phần chênh bằng diện tích

Lập diện tích của một mặt cắt

Quay quanh trục hoành và tính thể tích chỏm cầu

Mở rộng với mặt cắt hình vành khăn

Chọn chặng

Chẩn đoán nhanh

Nền tảng 1

Nền tảng 2

Vận dụng 1

Vận dụng 2

Nâng cao 1

Nâng cao 2

Luyện lại

Tổng kết

Nhận xét theo kỹ năng

Đọc lại kiến thức

Xác định miền theo các đường biên

Chia tại điểm mà thứ tự đường biên thay đổi

Lấy tung độ đường trên trừ tung độ đường dưới

Viết diện tích mặt cắt theo hoành độ

Đo bán kính từ trục quay

Tự luận trên giấy

Bài 1 · Chia miền khi hai đồ thị đổi thứ tự

Bài 2 · Tính thể tích từ mặt cắt hình chữ nhật

Bài 3 · Chỏm cầu sau khi khoan dọc trục