Bài toán đồ vật hình trụ lớp 9: vật liệu và sức chứa

Hình trụ và các phép tính · Toán lớp 9

Học liệu miễn phí do Cùng Học Toán tự biên soạn.

Cập nhật: 27/10/2026 · Mục tiêu L9-40-B5

Tình huống đồ vật cần chọn đúng phần bề mặt, kích thước trong và giả thiết hao hụt. Bài tổng hợp kết nối hình học với số lượng vật liệu và lượng nước theo mô hình.

Sau bài này, em có thể:

• Giải bài toán đồ vật hình trụ
• Giải thích điều kiện áp dụng, kiểm kết quả và xử lí một bài suy ngược hoặc phản biện.

Cần biết trước: Mô-đun 36; chu vi, diện tích hình tròn và hình chữ nhật.

1. Kiến thức và phương pháp

Trước khi tính, lập bảng đại lượng: bán kính hay đường kính, ngoài hay trong, chiều cao vật hay phần nước, có nắp/đáy hay không. Diện tích nhãn dùng mặt cong; dung tích dùng thể tích trong; vật liệu thành ống dùng hiệu hai trụ. Mọi giá và số đo trong bài là dữ kiện giả định để luyện mô hình.

2. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Nhãn hộp

Làm quen

Đề bài

Hộp trụ đường kính $8$ cm, nhãn cao $12$ cm vừa một vòng, bỏ mép dán. Tính diện tích nhãn.

Lời giải và cách suy nghĩ

$r=4$ cm nên $S=2\pi\cdot4\cdot12=96\pi$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Không cộng nắp đáy vì nhãn chỉ phủ mặt cong.

Ví dụ 2. Nước trong bể

Làm quen

Đề bài

Bể có bán kính trong $0{,}3$ m, nước cao $0{,}8$ m. Tính lượng nước theo lít.

Lời giải và cách suy nghĩ

$V=0{,}072\pi$ m$^3=72\pi$ lít.

Cách tự kiểm

Không dùng chiều cao ngoài bể nếu nước chưa đầy.

Ví dụ 3. Thành ống

Vận dụng

Đề bài

Ống dài $20$ cm có bán kính ngoài $3$, trong $2$ cm, không nắp đáy. Tính thể tích vật liệu.

Lời giải và cách suy nghĩ

$V=\pi(9-4)\cdot20=100\pi$ cm$^3$.

Cách tự kiểm

Không lấy hiệu bán kính rồi bình phương.

Ví dụ 4. Hộp không nắp

Vận dụng

Đề bài

Làm hộp trụ không nắp $r=5,h=8$ cm, bỏ mép và độ dày. Tính diện tích vật liệu.

Lời giải và cách suy nghĩ

Mặt cong $80\pi$, một đáy $25\pi$, tổng $105\pi$ cm$^2$.

Cách tự kiểm

Chỉ một đáy kín.

Ví dụ 5. Tốc độ bơm theo mô hình

Nâng cao

Đề bài

Bể trụ bán kính trong $2$ dm, cần nước cao $5$ dm. Bơm đều $\pi$ lít/phút, bể ban đầu rỗng. Cần bao lâu?

Lời giải và cách suy nghĩ

Thể tích $20\pi$ dm$^3=20\pi$ lít, nên thời gian $20$ phút, bỏ hao hụt.

Cách tự kiểm

$1$ dm$^3=1$ lít.

Ví dụ 6. Mực nước dâng

Nâng cao

Đề bài

Bể trụ bán kính trong $5$ cm, vật ngập hoàn toàn thể tích $50\pi$ cm$^3$, không tràn. Nước dâng bao nhiêu?

Lời giải và cách suy nghĩ

$\Delta h=50\pi/(25\pi)=2$ cm.

Cách tự kiểm

Dùng diện tích đáy trong cố định.

Ví dụ 7. Tấm nhãn có hao hụt

Thử thách

Đề bài

Vùng cần phủ mặt quanh $120\pi$ cm$^2$. Mua vật liệu dư $10\%$ so với diện tích cần phủ. Tính lượng mua.

Lời giải và cách suy nghĩ

$1{,}1\cdot120\pi=132\pi$ cm$^2$. Đây là quy tắc cộng dư theo đề, không là cách tính một tấm chữ nhật có mép cụ thể.

Cách tự kiểm

Phân biệt phần trăm dư diện tích với chiều rộng mép dán.

Ví dụ 8. Không đủ chiều cao bên trong

Thử thách

Đề bài

Lon có đường kính ngoài $10$ cm, cao ngoài $15$ cm, thành dày $0{,}2$ cm. Có đủ tính sức chứa chính xác không?

Lời giải và cách suy nghĩ

Chưa. Có thể suy bán kính trong $4{,}8$ cm nếu thành đều, nhưng còn thiếu độ dày đáy/nắp hoặc chiều cao trong. Cần thêm dữ kiện.

Cách tự kiểm

Không tự lấy cao ngoài làm cao trong chính xác.

3. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Đọc đúng vị trí và vai trò của từng điểm hoặc đại lượng; không suy dữ kiện chính xác từ hình vẽ gần đúng.
• Ghi căn cứ trước khi thay số; kiểm lại điều kiện và đơn vị của kết quả.

4. Tự luyện theo mức độ

Em tự làm và ghi cách giải trước khi mở gợi ý hoặc đáp án. Với bài chứng minh, cần nêu giả thiết và căn cứ; với dữ liệu đo hoặc khảo sát, ghi kết quả thực đã dùng. Một ví dụ giả định trong lời giải không thay cho kết quả thực hành của em.

Bài 1–4. Nắm vững nền tảng

1. Nhãn giấy dán vừa mặt quanh hộp hình trụ $r=3,h=10$ cm, bỏ qua mép dán. Tính diện tích giấy.

   Gợi ý bài 1

   Nhãn phủ mặt quanh nên dùng $2\pi rh$.

2. Bể trụ có bán kính trong $0{,}5$ m, chiều cao nước $1{,}2$ m. Tính thể tích nước.

   Gợi ý bài 2

   Dùng bán kính trong và cao nước.

3. Ống hình trụ $r=2,h=15$ cm mở cả hai đáy. Tính diện tích mặt cong, bỏ độ dày.

   Gợi ý bài 3

   Ống hở hai đáy chỉ tính mặt cong theo giả thiết bỏ độ dày.

4. Hộp trụ có bán kính ngoài $5$ cm nhưng thành dày $1$ cm. Có dùng $r=5$ cm để tính sức chứa bên trong không?

   Gợi ý bài 4

   Bán kính trong nhỏ hơn bán kính ngoài; cần cao trong nữa.

Mở đáp án và lời giải bài 1–4

1. $S=2\pi\cdot3\cdot10=60\pi$ cm$^2$.

2. $V=\pi\cdot0{,}5^2\cdot1{,}2=0{,}3\pi$ m$^3$.

3. $S_{xq}=2\pi\cdot2\cdot15=60\pi$ cm$^2$; không cộng hai đáy.

4. Không. Cần bán kính trong $4$ cm và chiều cao trong thực tế; bán kính ngoài dùng cho bề mặt ngoài.

Bài 5–8. Củng cố và vận dụng

5. Hộp trụ $r=2,h=14$ cm, nhãn vừa mặt quanh. Tính diện tích.

   Gợi ý bài 5

   Không thêm đáy.

6. Bán kính trong $20$ cm, cao nước $30$ cm. Tính thể tích theo lít.

   Gợi ý bài 6

   Chia cho $1000$ để đổi từ cm$^3$ sang lít.

7. Ống mỏng $r=4,h=25$ cm hở cả hai đầu. Tính diện tích mặt cong, bỏ độ dày.

   Gợi ý bài 7

   Hai lỗ không là hai đĩa vật liệu.

8. Bể trụ đứng đầy nước, đổ ra một nửa thể tích. Mực nước còn bao nhiêu phần chiều cao?

   Gợi ý bài 8

   Điều này dựa vào trụ đứng có thiết diện ngang không đổi.

Mở đáp án và lời giải bài 5–8

5. $56\pi$ cm$^2$.

6. $12000\pi$ cm$^3=12\pi$ lít.

7. $200\pi$ cm$^2$.

8. Còn một nửa chiều cao vì diện tích đáy không đổi.

Bài 9–14. Nâng cao: kết hợp kiến thức và suy luận

9. Bể trụ 1 có $r=6$ cm, nước cao $10$ cm; đổ hết sang bể trụ 2 có $r=3$ cm. Tìm chiều cao nước mới nếu bể đủ cao.

   Gợi ý bài 9

   Đề cho đủ cao để không mất nước do tràn.

10. Bể trụ diện tích đáy $40$ dm$^2$, nước ban đầu cao $2$ dm. Thêm $120$ lít. Tính cao nước, không tràn.

    Gợi ý bài 10

    Không chia toàn lượng thêm để thay mực ban đầu.

11. Mặt quanh trụ $r=1,h=3$ m, chi phí giả định $50$ nghìn đồng/m$^2$. Tính tiền phủ mặt quanh.

    Gợi ý bài 11

    Không coi số giả định là báo giá thực.

12. Lon 1 có $(r,h)=(3,8)$, lon 2 có $(r,h)=(6,2)$, các kích thước đều tính bằng cm. Cả hai kín. So sánh diện tích vật liệu.

    Gợi ý bài 12

    Cần cộng cả hai đáy để so lon kín.

13. Ống $R=5$ cm, dài $10$ cm, thể tích thành $160\pi$ cm$^3$, không nắp đáy. Tìm bán kính trong.

    Gợi ý bài 13

    Kiểm $0<r<R$.

14. Bể trụ có bán kính trong $4$ dm, cao trong $10$ dm. Đã có $100\pi$ lít. Còn thêm tối đa bao nhiêu theo mô hình?

    Gợi ý bài 14

    Dùng dung tích trong, giữ cùng đơn vị lít.

Mở đáp án và lời giải bài 9–14

9. $36\cdot10=9h$ nên $h=40$ cm.

10. Thêm $120$ dm$^3$ làm dâng $3$ dm; cao cuối $5$ dm.

11. Diện tích $6\pi$ m$^2$; tiền $300\pi$ nghìn đồng theo mô hình, chưa có khoản khác.

12. Cùng có $V=72\pi$ cm$^3$. Lon 1 có diện tích $48\pi+18\pi=66\pi$ cm$^2$; lon 2 có diện tích $24\pi+72\pi=96\pi$ cm$^2$. Lon 1 ít hơn $30\pi$ cm$^2$.

13. $(25-r^2)10=160$ nên $r^2=9$, $r=3$ cm; thành dày $2$ cm.

14. Dung tích $160\pi$ lít; còn $60\pi$ lít. Mực nước tương ứng không vượt cao $10$ dm.

Bài 15–16. Thử thách: lập luận và kiểm tra điều kiện

15. Bạn đổi $2$ m$^3$ thành $200$ lít vì một m bằng100cm. Sửa.

    Gợi ý bài 15

    Có thể kiểm $1$ m$^3=10^6$ cm$^3$.

16. Một lon kín có $r=3,h=10$ cm. Tính $V,S_{xq},S_{tp}$ và kiểm $2V/S_{xq}=r$.

    Gợi ý bài 16

    Đại lượng và đơn vị phải đi cùng, không tráo diện tích toàn phần vào tỉ số.

Mở đáp án và lời giải bài 15–16

15. $1$ m$^3=1000$ lít nên $2$ m$^3=2000$ lít. Chuyển đổi thể tích không dùng trực tiếp hệ số đổi độ dài.

16. $V=90\pi$ cm$^3$, $S_{xq}=60\pi$ cm$^2$, $S_{tp}=78\pi$ cm$^2$. Tỉ số $2V/S_{xq}=180\pi/(60\pi)=3$ cm, đúng bán kính.

5. Phiếu in và học tiếp

Hai tài liệu dưới đây là bộ phiếu và hướng dẫn của mô-đun. Các ví dụ mở rộng, bài nâng cao và thử thách trên trang này được học trực tiếp trên web.