Tự luyện Toán 12 · Thực hành GeoGebra và hình thang – Tính tích phân và kiểm sai số

Mở GeoGebra Classic ở chế độ CAS. Nhập từng dòng lệnh bằng tên tiếng Anh. Lệnh đầu trả một họ nguyên hàm của $x^2+1$. Kiểm bằng cách lấy đạo hàm của $x^3\mathrm{/}3+x+C$. Lệnh thứ hai xấp xỉ tích phân trên $[0;2]$. Tính tay được $[x^3\mathrm{/}3+x{]}_0^2=14\mathrm{/}3$, tức khoảng $\mathrm{4,666667}$. Lệnh thứ ba xấp xỉ ${\int }_0^1{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$, được khoảng $\mathrm{0,746824}$. Màn hình có thể hiện $\mathrm{4,67}$ và $\mathrm{0,75}$ nếu đang làm tròn đến hai chữ số. Trong menu Tùy chọn của GeoGebra Classic, mở mục Làm tròn (Rounding) và chọn số chữ số cần hiển thị. Hãy ghi số chữ số khi báo giá trị gần đúng. Nếu hàm đổi dấu, giá trị NIntegral là tích phân có dấu. Muốn tính diện tích giữa đồ thị và trục hoành, lấy tích phân của giá trị tuyệt đối hoặc chia tại các điểm đổi dấu.

IntegralSymbolic(x^2+1)
NIntegral(x^2+1,0,2)
NIntegral(exp(-x^2),0,1)

Trên $[a;b]$, chọn $n$ đoạn con đều với $h=(b-a)\mathrm{/}n$ và $x_i=a+ih$. Nối các điểm liên tiếp $(x_i;f(x_i))$. Tổng hình thang là Mỗi tung độ ở trong đoạn thuộc hai hình thang kề nhau. Với $f(x)=x^2+1$ trên $[0;2]$, chia hai đoạn cho $T_2=5$, chia bốn đoạn cho $T_4=\mathrm{4,75}$. Cả hai lớn hơn $14\mathrm{/}3$ vì mỗi dây cung nằm trên đồ thị của hàm lồi này. Trong GeoGebra Calculator Suite, chọn chế độ Đồ thị để nhập các lệnh dưới đây. Tên lệnh trong giao diện tiếng Anh (Anh) hoặc tiếng Anh (Úc) có thể là TrapeziumSum.

f(x)=x^2+1
TrapezoidalSum(f,0,2,2)
TrapezoidalSum(f,0,2,4)

Nếu $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ liên tục trên $[a;b]$ và $M$ là một cận trên của $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ trên đoạn đó thì Với $f(x)=x^2+1$ trên $[0;2]$, lấy $M=2$, ta được cận $4\mathrm{/}(3n^2)$. Muốn cận này nhỏ hơn $1\mathrm{/}48$ cần $n^2>64$. Tại $n=8$, cận bằng đúng $1\mathrm{/}48$, nên số nguyên dương nhỏ nhất thỏa yêu cầu là $9$. Nếu tăng $n$ gấp đôi, cận này giảm còn một phần tư. Khi làm tròn kết quả để công bố, nên giữ đủ chữ số để tính đến sai số làm tròn.

Ở mỗi mốc, bảng cho diện tích $A(x)$ của mặt cắt vuông góc với trục đo. Mỗi hình thang xấp xỉ thể tích của một đoạn vật thể. Trong bảng sau, các mốc cách nhau $25$ cm. Thể tích gần đúng là Khi các mốc cách nhau không đều, tính riêng $\frac{x_{i+1}-x_i}{2}[A(x_i)+A(x_{i+1})]$ trên từng đoạn rồi cộng lại. Chỉ từ bảng chưa suy ra được cận của đạo hàm cấp hai giữa các mốc, nên chưa thể bảo đảm sai số bằng công thức ở trên.