Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Chương IV – Nguyên hàm và tích phân

TOÁN 12 · TẬP HAI · CHƯƠNG IV · ÔN TẬP CHƯƠNG IV

Ôn nguyên hàm, tích phân và ứng dụng hình học

Ôn cách chọn nguyên hàm, xác định cận và giải thích tích phân trong bài toán diện tích, thể tích hoặc biến thiên.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Cách làm và ví dụ

Từ tốc độ thay đổi đến hàm số

Khi cần tìm cả hàm F từ F′, tìm một nguyên hàm rồi dùng dữ kiện để xác định hằng số. Khi đề chỉ hỏi độ thay đổi từ a đến b, dùng F(b)−F(a)=∫abF′(x) dx nếu F′ liên tục. Ví dụ, với F′(x)=3x+2 và F(0)=1, ta có F(x)=3x2/2+2x+1. Từ 0 đến 2, hàm tăng 10 đơn vị và đạt F(2)=11.

Phân biệt tích phân có dấu với diện tích

Tích phân của f giữ dấu của phần dưới Ox. Diện tích giữa y=f(x) và Ox trên [a;b] bằng ∫ab∣f(x)∣ dx. Với hai đồ thị, thay f bằng hiệu của hai hàm. Chẳng hạn, x−3 đổi dấu tại 3. Trên [1;4], hai tích phân có dấu lần lượt bằng −2 và 1/2. Vì vậy tích phân trên cả đoạn bằng −3/2, còn diện tích bằng 5/2.

Chọn tiết diện phù hợp với vật thể

Nếu A(x) là diện tích tiết diện vuông góc với Ox và liên tục trên [a;b], thể tích bằng ∫abA(x) dx. Với khối tròn xoay, xác định từng bán kính từ trục quay. Chẳng hạn, quay miền 1≤y≤x+1 trên [0;1] quanh Ox tạo tiết diện vành khăn có diện tích π[(x+1)2−1]. Tích phân diện tích này trên đoạn đã cho bằng 4π/3. Nếu đề cho bề dày theo phương bán kính là d, bán kính ngoài tại cùng hoành độ bằng bán kính trong cộng d.

Kiểm dấu vận tốc và đơn vị

Từ a(t) có thể tính v(t) bằng một nguyên hàm và dữ kiện ban đầu. Tiếp theo, tích phân v cho độ dịch chuyển, còn tích phân ∣v∣ cho quãng đường. Để tìm vị trí lớn nhất trên một khoảng thời gian, xét các thời điểm vận tốc đổi dấu và hai đầu mút. Khi lập tích phân hình học, kiểm rằng độ dài nhân độ dài cho đơn vị diện tích và diện tích nhân độ dài cho đơn vị thể tích.

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Dùng dữ kiện đầu để tìm hàm số
Nếu F′(x)=3x2−2 và F(1)=2 thì F(x)=x3−2x+C. Thế x=1 cho C=3.

Chẩn đoán nhanh

5 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

5 câu. Nhận dạng nguyên hàm, tích phân và công thức hình học.

Ví dụ kiểm nguyên hàm của hàm lượng giác
Vì (cos⁡5x)′=−5sin⁡5x, nên một nguyên hàm của sin⁡5x là −cos⁡(5x)/5.

Nền tảng 2

5 câu. Kiểm dữ kiện ban đầu và chọn đúng đại lượng.

Ví dụ tính hiệu hai giá trị của hàm
Nếu F(0)=7 và ∫02F′(x) dx=−3 thì F(2)=7−3=4.

Vận dụng 1

6 câu. Kết hợp hai bước tính và giải thích kết quả.

Ví dụ tách miền tại giao điểm
Hai đường y=x2 và y=1 đổi thứ tự tại x=1 trên [0;2]. Diện tích bằng ∫01(1−x2) dx+∫12(x2−1) dx=2.

Vận dụng 2

6 câu. Đọc đồ thị, lập tiết diện và mô hình hóa dữ kiện.

Ví dụ tính thể tích bằng diện tích tiết diện
Với mặt cắt vuông cạnh 2x trên [0;1], thể tích bằng ∫014x2 dx=4/3.

Nâng cao 1

5 câu. Xét dấu, cận và điều kiện trong các cụm đúng/sai.

Ví dụ phân biệt tích phân có dấu với diện tích
Trên [−1;2], tích phân của 2x là 3 còn diện tích giữa đồ thị và trục hoành là 1+4=5.

Nâng cao 2

5 câu. Phối hợp tích phân và hình học trong bài toán nhiều bước.

Ví dụ lập hai bán kính của tiết diện
Nếu bán kính trong là 2 cm và bán kính ngoài là 2,5 cm, diện tích phần vành là π(2,52−22)=2,25π cm². Nếu hai bán kính giữ nguyên trên đoạn dài 6 cm thì thể tích là 13,5π cm³.

Luyện lại

5 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Ôn Bài 11 · Nguyên hàm · Ôn Bài 12 · Tích phân · Ôn Bài 13 · Ứng dụng hình học · Thực hành GeoGebra và phương pháp hình thang

Lấy đạo hàm để kiểm rồi thế dữ kiện

Nếu F′=f trên một khoảng, họ nguyên hàm là F+C. Để xác định một hàm thỏa G(a)=b, tính C=b−F(a).

Giữ thứ tự cận và đọc đơn vị

Với F′=f và f liên tục, ∫abf(x) dx=F(b)−F(a). Nếu f là tốc độ biến thiên thì tích phân là độ thay đổi ròng của đại lượng.

Tách theo điểm đổi dấu hoặc giao điểm

Diện tích giữa y=f(x) và y=g(x) là ∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx. Sau khi tìm các mốc đổi thứ tự, dùng đường trên trừ đường dưới ở mỗi khoảng.

Tính diện tích mặt cắt trước khi tích phân

Với mặt cắt vuông góc với Ox có diện tích A(x), thể tích là ∫abA(x) dx. Mặt cắt vành khăn có diện tích π(R2−r2) khi R và r là hai bán kính.

Xác định đại lượng và mô hình

Ghi đơn vị, khoảng biến thiên và cách đo. Với vận tốc v, độ dịch chuyển là ∫abv(t) dt, còn quãng đường là ∫ab∣v(t)∣ dt trên cùng khoảng thời gian.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Dùng điều kiện đầu rồi đối chiếu tích phân

Cho F′(x)=3ex−2e−x+4x trên R và F(0)=5. Tìm F(x) rồi tính chính xác ∫0ln⁡2F′(x) dx.
Mở gợi ý
Kiểm dấu khi lấy nguyên hàm của e−x. Tính tích phân từ hiệu F(ln⁡2)−F(0).
Xem lời giải và tự kiểm
Vì (2e−x)′=−2e−x, ta có F(x)=3ex+2e−x+2x2+C. Từ F(0)=5 suy ra C=0. Khi x=ln⁡2, các số hạng mũ lần lượt bằng 6 và 1. Theo công thức Newton–Leibniz,
∫0ln⁡2F′(x) dx=F(ln⁡2)−F(0)=2+2(ln⁡2)2.
  • Lấy đạo hàm từng số hạng để đối chiếu với F′.
  • Thế x=0 để kiểm điều kiện đầu.
  • Trừ 5 ở bước tính tích phân.

Bài 2 · Ba miền khi đường biên đổi thứ tự

Tính tổng diện tích giữa parabol y=x2, đường thẳng y=4x−3 và hai đường thẳng x=0, x=4. Trình bày vì sao cần chia đoạn.
Mở gợi ý
Hiệu hai tung độ là (x−1)(x−3). Xét dấu trên ba khoảng.
Xem lời giải và tự kiểm
Hiệu q(x)=x2−4x+3 dương trên [0;1) và (3;4], âm trên (1;3). Một nguyên hàm của q là Q(x)=x3/3−2x2+3x. Do đó
S=[Q(1)−Q(0)]+[Q(1)−Q(3)]+[Q(4)−Q(3)]=4.
Thật vậy, Q(0)=Q(3)=0 và Q(1)=Q(4)=4/3, nên mỗi phần có diện tích 4/3.
  • Tìm đủ hai giao điểm có hoành độ 1 và 3.
  • Đổi thứ tự phép trừ ở đoạn giữa.
  • Cộng đủ ba phần diện tích dương.

Bài 3 · Thành bình gốm và độ dày theo bán kính

Một bình gốm hở hai đầu có trục Ox, bán kính trong r(x)=2+x/2 cm tại x∈[0;6] cm. So sánh thể tích đất sét khi bề dày theo phương bán kính không đổi bằng 1 cm và khi bằng 2 cm. Tính cả tỉ số thể tích sau so với trước.
Mở gợi ý
Ở mỗi mặt cắt, bán kính ngoài bằng r(x)+d với d là bề dày. Tính diện tích vành khăn.
Xem lời giải và tự kiểm
Thể tích đất sét là
V(d)=π∫06((r(x)+d)2−r(x)2) dx.
Vì ∫06r(x) dx=21, ta có V(d)=π(42d+6d2). Do đó V(1)=48π cm3 và V(2)=108π cm3. Tỉ số là 9/4.
  • Đo cả hai bán kính từ Ox. Bề dày d là hiệu của hai bán kính.
  • Tính hiệu hai diện tích hình tròn trước khi tích phân.
  • Vì hai đầu hở, chỉ tính thể tích của thành bình.