Vectơ trong không gian: điểm đầu, điểm cuối và hướng

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Một vectơ mô tả một độ dời có hướng. Hai mũi tên đặt ở những vị trí khác nhau vẫn có thể biểu diễn cùng một vectơ; vì vậy cần phân biệt cách vẽ với các đặc trưng của vectơ.

Mục tiêu: đọc đúng thứ tự hai đầu mút, phân biệt phương với hướng và xử lý trường hợp hai đầu mút trùng nhau.

Kiến thức cần biết: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng song song và phép tịnh tiến.

1. Một đoạn thẳng có hướng

Ký hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ vectơ được biểu diễn bởi đoạn thẳng có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$. Mũi tên hướng từ $A$ đến $B$. Khi $A\ne B$, đường thẳng $AB$ là giá của cách biểu diễn này; độ dài của vectơ là $AB$. Các chữ $\vec a,\vec b,\vec u$ có thể dùng khi không cần chỉ rõ hai đầu mút.

Vectơ $\overrightarrow{AA}$ là vectơ không, ký hiệu $\vec0$. Hai đầu mút trùng nhau nên độ dài bằng $0$. Không gọi $AA$ là một đường thẳng, không gán cho $\vec0$ một giá, một hướng hay một góc xác định.

Trong các phép tính, ta xét vectơ tự do: các đoạn có hướng cùng phương, cùng hướng và cùng độ dài biểu diễn cùng một vectơ. Tịnh tiến cả hai đầu mút bởi cùng một độ dời giữ nguyên vectơ; điều đó không có nghĩa hai cặp đầu mút phải trùng nhau.

2. Cùng phương và cùng hướng

Hai vectơ khác $\vec0$ cùng phương nếu các giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Khi ấy chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Chỉ nói “ngược hướng” sau khi đã biết cùng phương; hai phương khác nhau không phải là hai hướng đối nhau.

Với $\vec a\ne\vec0$, điều kiện $\vec b=k\vec a$ nói rằng $\vec b$ nằm theo phương của $\vec a$. Nếu $k>0$ thì hai vectơ cùng hướng; nếu $k<0$ thì ngược hướng; nếu $k=0$ thì $\vec b=\vec0$ và không dùng phân loại hướng này. Trong tiêu chuẩn phụ thuộc tuyến tính, trường hợp có vectơ không được xét bằng phép tính riêng.

Trong Oxyz, tọa độ $\overrightarrow{AB}$ bằng tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu. Đổi thứ tự hai đầu mút làm đổi dấu vectơ nhưng không đổi độ dài. Đây là cách kiểm tra nhanh khi hình phối cảnh khó đọc; không đo góc hoặc độ dài trực tiếp trên ảnh.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Cùng phương và ngược hướng

Giả sử các vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ có giá lần lượt $d_1,d_2,d_3$, trong đó $d_1\parallel d_2$, hai mũi tên $\vec a,\vec b$ ngược hướng và phương $d_3$ khác phương hai đường trên. Khi đó $\vec a,\vec b$ cùng phương nhưng ngược hướng. Vectơ $\vec c$ không cùng phương với chúng, nên không gọi $\vec c$ và $\vec a$ là ngược hướng. Các quan hệ này là dữ kiện của ví dụ, không phải kết quả đo ảnh.

Ví dụ 2. Đọc hai đầu mút

Cho $A(1;2;3)$, $B(3;2;1)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;0;-2)$ và $\overrightarrow{BA}=(-2;0;2)=-\overrightarrow{AB}$. Hai vectơ khác $\vec0$, cùng phương và ngược hướng.

Ví dụ 3. Cùng vectơ, khác vị trí đặt

Lấy $C(0;0;0)$, $D(2;0;-2)$. Khi đó $\overrightarrow{CD}=(2;0;-2)=\overrightarrow{AB}$ ở ví dụ 2, dù $A\ne C$ và $B\ne D$. Tịnh tiến đoạn có hướng $AB$ bởi vectơ $\overrightarrow{AC}$ sẽ đưa hai đầu mút lần lượt tới $C,D$.

4. Tự luyện

1. Cho $P(2;-1;0)$, $Q(-1;1;4)$. Tìm $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{QP}$.
2. Với $\vec a=(2;0;-2)$, phân loại hướng của $\vec b=(-1;0;1)$ và $\vec c=(0;1;0)$ so với $\vec a$.
3. Với $M(1;2;3)$ và $\vec u=(2;-1;0)$, tìm $N$ sao cho $\overrightarrow{MN}=\vec u$. Vectơ $\overrightarrow{MM}$ có hướng không?

5. Những lỗi cần tránh

Không đảo điểm đầu và điểm cuối khi tính tọa độ. Không đồng nhất “cùng phương” với “cùng hướng” hoặc “bằng nhau”. Khi hai đầu mút trùng, phải xử lý vectơ không trước khi nói về giá, hướng hay góc.

6. Học tiếp và nguồn

Vector trong không gian: độ dài của vector, hai vector bằng nhau · Phép cộng, trừ các vector · Toạ độ của một vector theo toạ độ điểm đầu và điểm cuối.

Tài liệu gốc trên Scribd (liên kết ngoài).