Biểu diễn vectơ: quy tắc ba điểm, hình bình hành và hình hộp

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Muốn biểu diễn một vectơ qua các vectơ đã biết, ta chọn một đường đi từ điểm đầu đến điểm cuối rồi cộng các độ dời trên đường đó. Với hình bình hành và hình hộp, các cạnh song song giúp thay các vectơ bằng nhau.

Mục tiêu: dùng đúng ba quy tắc cơ bản; biểu diễn đường chéo qua các cạnh; phân biệt một đẳng thức đúng với biểu diễn duy nhất theo cơ sở.

Kiến thức cần biết: cộng, trừ vectơ; các cạnh của hình bình hành và hình hộp.

1. Quy tắc ba điểm

Với ba điểm $A,M,B$ bất kỳ, ta có $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$. Điểm trung gian $M$ không cần thuộc đoạn $AB$. Trong tọa độ, đẳng thức là $(M-A)+(B-M)=B-A$, nên vẫn đúng khi các điểm thẳng hàng hoặc trùng nhau.

Có thể chèn nhiều điểm trung gian để tìm cách tính thuận tiện. Tuy nhiên mỗi vectơ phải mang đúng hướng. Đổi $\overrightarrow{MB}$ thành $\overrightarrow{BM}$ thì phải đổi dấu, không giữ nguyên phép cộng.

2. Hình bình hành và hình hộp

Cho hình bình hành $ABCD$, các đỉnh được ghi theo thứ tự quanh hình. Khi đó $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, nên

Phải dùng hai cạnh kề xuất phát từ $A$. Không được cộng hai lần cùng một cạnh để thay cho tổng hai cạnh kề: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}$ nói chung không bằng đường chéo $\overrightarrow{AC}$.

Với hình hộp không suy biến $ABCD.A'B'C'D'$, đặt $\vec u=\overrightarrow{AB}$, $\vec v=\overrightarrow{AD}$, $\vec w=\overrightarrow{AA'}$. Các đỉnh phía trên lần lượt là ảnh tịnh tiến của $A,B,C,D$ theo $\vec w$. Khi đó $\overrightarrow{AC'}=\vec u+\vec v+\vec w$.

Nếu xuất phát từ $A'$, quy tắc ba điểm cho:

Thật vậy, ba vectơ ở vế trái lần lượt là $-\vec w,\vec u,\vec v$, còn $\overrightarrow{A'C}=\vec u+\vec v-\vec w$. Không cần các cạnh của hình hộp đôi một vuông góc.

Ba cạnh của hình hộp không suy biến độc lập tuyến tính, nên mỗi vectơ trong không gian có biểu diễn duy nhất theo $\vec u,\vec v,\vec w$. Nếu chỉ chọn hai vectơ độc lập, ta biểu diễn được các vectơ thuộc mặt phẳng vectơ do chúng sinh ra. Không được bỏ điều kiện độc lập rồi vẫn kết luận duy nhất.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Đường chéo còn lại của hình bình hành

Với $\vec u=\overrightarrow{AB}$, $\vec v=\overrightarrow{AD}$, ta có $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec u+\vec v$. Trong khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec u+\vec v$. Hai đường chéo không có cùng công thức.

Ví dụ 2. Trung điểm của đường chéo hình hộp

Gọi $I$ là trung điểm $AC'$. Khi đó

Nếu $J$ là trung điểm $BD'$, thì

Hai vectơ bằng nhau và cùng điểm đầu $A$, nên $I=J$.

Ví dụ 3. Kiểm tra bằng một hình hộp tọa độ

Lấy $A=O$, $\vec u=(2;0;0)$, $\vec v=(1;3;0)$, $\vec w=(0;0;4)$. Khi đó $C'=(3;3;4)$, $A'=(0;0;4)$ và $C=(3;3;0)$. Ta có $\overrightarrow{A'C}=(3;3;-4)=\vec u+\vec v-\vec w$. Đây là một hình hộp, không phải hình hộp chữ nhật vì $\vec u\cdot\vec v=2\ne0$.

4. Tự luyện

1. Trong hình bình hành với $\overrightarrow{AB}=\vec u$, $\overrightarrow{AD}=\vec v$, biểu diễn $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{DB}$.
2. Trong hình hộp trên, biểu diễn $\overrightarrow{B'D}$ qua $\vec u,\vec v,\vec w$.
3. Với các vectơ tọa độ của ví dụ 3, tính $\overrightarrow{B'D}$ và vị trí tâm hình hộp.

5. Những lỗi cần tránh

Dùng đúng thứ tự đỉnh của hình bình hành và các cặp đỉnh tương ứng của hình hộp. Không suy ra cạnh vuông góc hay bằng nhau chỉ từ ảnh phối cảnh. Muốn kết luận hai điểm trùng nhau từ hai vectơ bằng nhau, phải có cùng điểm đầu.

6. Học tiếp và nguồn

Phép cộng, trừ các vector · Sự đồng phẳng · Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng trong không gian.

Tài liệu gốc trên Scribd (liên kết ngoài).