Cộng, trừ và vectơ đối trong không gian lớp 12

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Phép cộng vectơ nối các độ dời liên tiếp. Phép trừ là cộng với vectơ đối, nên thứ tự hai vectơ phải được giữ đúng. Các quy tắc này áp dụng trong không gian như trong mặt phẳng.

Mục tiêu: thực hiện tổng và hiệu vectơ; dùng quy tắc ba điểm; phân biệt tổng vectơ với tổng độ dài.

Kiến thức cần biết: hai vectơ bằng nhau, vectơ tự do, hai đầu mút và tọa độ vectơ.

1. Cộng bằng cách nối đuôi

Chọn điểm $M$ bất kỳ, dựng $A$ sao cho $\overrightarrow{AM}=\vec a$ và dựng $B$ sao cho $\overrightarrow{MB}=\vec b$. Tổng là độ dời trực tiếp từ $A$ đến $B$:

Ta cũng có thể đặt một biểu diễn của $\vec a$ từ $O$ đến $P$, rồi đặt $\vec b$ từ $P$ đến $Q$; khi đó tổng là $\overrightarrow{OQ}$. Việc tịnh tiến các biểu diễn không đổi vectơ, nên kết quả không phụ thuộc điểm bắt đầu.

Phép cộng có tính giao hoán và kết hợp. Ngoài ra $\vec a+\vec0=\vec a$. Vì vậy có thể nhóm các vectơ để làm xuất hiện những cặp hai đầu mút khớp nhau, nhưng vẫn phải giữ hướng của từng vectơ.

2. Vectơ đối và phép trừ

Vectơ đối $-\vec a$ là vectơ thỏa $\vec a+(-\vec a)=\vec0$. Nếu $\vec a\ne\vec0$, nó có cùng độ dài và ngược hướng với $\vec a$. Vectơ đối của $\vec0$ là chính $\vec0$; không cần gán hướng cho trường hợp này. Với mọi $A,B$, ta có $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$.

Hiệu được định nghĩa bởi $\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$. Trong tọa độ, tổng và hiệu được tính theo từng thành phần. Phép trừ không giao hoán: $\vec b-\vec a=-(\vec a-\vec b)$. Chỉ khi hiệu bằng $\vec0$ thì đổi thứ tự không thay đổi kết quả.

Một công thức thường dùng với các vectơ chung điểm đầu là $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Có thể kiểm bằng tọa độ: $(A-O)-(B-O)=A-B$. Điểm đầu của hiệu là $B$, không phải $A$.

Độ dài của tổng không nói chung bằng tổng độ dài. Chẳng hạn $\vec a+(-\vec a)=\vec0$ có độ dài $0$, trong khi tổng hai độ dài bằng $2\|\vec a\|$. Không thay phép cộng vectơ bằng phép cộng các độ dài có dấu tùy ý.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Quy tắc ba điểm bằng tọa độ

Cho $A(1;0;2)$, $B(3;-1;1)$, $C(2;2;0)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(2;-1;-1)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;3;-1)$. Cộng hai vectơ được $(1;2;-2)=\overrightarrow{AC}$, đúng với việc đi từ $A$ đến $B$, rồi từ $B$ đến $C$.

Ví dụ 2. Hiệu hai vectơ chung điểm đầu

Nếu $\overrightarrow{OA}=(2;1;0)$ và $\overrightarrow{OB}=(1;-2;3)$, thì $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(1;3;-3)=\overrightarrow{BA}$. Đổi thứ tự phép trừ cho vectơ đối $\overrightarrow{AB}=(-1;-3;3)$.

Ví dụ 3. Tổng quanh một đường khép kín

Với ba điểm bất kỳ, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec0$. Kết luận vẫn đúng nếu các điểm thẳng hàng hoặc có điểm trùng; đây là đẳng thức vectơ, không cần một tam giác không suy biến.

4. Tự luyện

1. Cho $\vec u=(1;-2;3)$, $\vec v=(2;0;-1)$. Tính $\vec u+\vec v$ và $\vec u-\vec v$.
2. Với $\overrightarrow{OA}=(1;2;3)$, $\overrightarrow{OB}=(3;1;0)$, tìm $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$.
3. Giải phương trình vectơ $\vec x+\vec a=\vec b$, biết $\vec a=(1;1;0)$, $\vec b=(2;-1;3)$.

5. Những lỗi cần tránh

Để dùng quy tắc ba điểm, điểm cuối vectơ trước phải khớp điểm đầu vectơ sau. Khi trừ, đổi dấu đủ mọi thành phần. Không viết $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$ và không coi phép trừ là phép cộng không cần hướng.

Tài liệu gốc trên Scribd (liên kết ngoài).