Đến nội dung chính

Tự luyện Toán 12 · Ôn tập Tập hai – Chương IV–VI

TOÁN 12 · CHƯƠNG IV–VI · ÔN TẬP TẬP HAI

Ôn tập Chương IV–VI

Ôn nguyên hàm và tích phân, tọa độ trong không gian và xác suất có điều kiện. Làm chẩn đoán nhanh để chọn chặng phù hợp, rồi luyện kết hợp các chương.

Lưu câu đang dở, lựa chọn chưa nộp và phản hồi trên trình duyệt này.

Cách làm và ví dụ

Chọn biểu thức tích phân theo đại lượng

Một xe dịch chuyển trên trục có vận tốc v(t)=2t−4 mét trên giây trong 0≤t≤5. Tốc độ bằng ∣2t−4∣.

Vận tốc đổi dấu tại t=2. Độ dịch chuyển là ∫05(2t−4) dt=5 m. Quãng đường là ∫02(4−2t) dt+∫25(2t−4) dt=4+9=13 m. Diện tích dưới trục thời gian xuất hiện với dấu âm trong độ dịch chuyển và dấu dương trong quãng đường.

Dùng đường thẳng và mặt phẳng để tìm vị trí

Một thiết bị xuất phát từ A(1;0;0), di chuyển đến B(4;3;6). Viết M(t)=(1+3t;3t;6t) với 0≤t≤1. Khi thiết bị chạm mặt phẳng x+y+z=7, ta có 1+12t=7. Vì t=1/2 thuộc [0;1], thiết bị chạm ở trung điểm M(1/2)=(5/2;3/2;3).

Từ bảng tần số đến ước lượng xác suất có điều kiện

Gọi H là có báo động và A là mẫu đến từ xưởng A. Chọn đều một mẫu trong bảng. Trong 12 mẫu có báo động, 4 mẫu đến từ A, nên P(A∣H)=4/12=1/3. Trong 20 mẫu của A, có 4 báo động, nên P(H∣A)=4/20=1/5. Hai điều kiện xác định hai mẫu số khác nhau.
Số mẫu được kiểm tra
XưởngCó báo độngKhông báo động
A416
B812

Chọn chặng

Điểm tự làm tính ở lần nộp đầu trước khi xem gợi ý hoặc lời giải. Với câu đúng/sai, số ý đúng từ 0 đến 4 được 0 · 0,10 · 0,25 · 0,50 · 1,00 điểm trên một điểm của câu. Ý để trống không được tính đúng.

Ví dụ có hướng dẫn · Đọc miền thời gian trước khi tích phân
Khi v(t)=t−1 trên [0;3], vận tốc đổi dấu tại t=1. Độ dịch chuyển là ∫03(t−1) dt=3/2. Quãng đường là ∫01(1−t) dt+∫13(t−1) dt=5/2.

Chẩn đoán nhanh

6 câu. Xác định bước em cần ôn trước khi luyện.

Nền tảng 1

5 câu. Tìm nguyên hàm, tính diện tích và lập phương trình trong không gian.

Ví dụ lập mặt phẳng
Mặt phẳng đi qua M(1;1;0), có pháp tuyến (1;2;−1), thỏa (x−1)+2(y−1)−z=0.

Nền tảng 2

4 câu. Đọc mặt cầu và xử lý xác suất có điều kiện.

Ví dụ chọn đúng mẫu số
Có 6 trong 15 người đi xe buýt cũng dùng thẻ tháng. Nếu đã biết người được chọn đi xe buýt, xác suất dùng thẻ tháng là 6/15.

Vận dụng 1

5 câu. Đọc đồ thị vận tốc, tính thể tích và tìm giao của đường đi với mặt phẳng.

Ví dụ dùng mặt cắt vuông góc
Một khối có tiết diện hình vuông cạnh x mét tại mỗi x∈[0;2]. Thể tích là ∫02x2 dx=8/3 mét khối.

Vận dụng 2

4 câu. Xác định góc và đọc dữ liệu xác suất.

Ví dụ dùng điều kiện đã biết
Biết món hàng đã qua lọc, hãy xét tập gồm các món đã qua lọc. Muốn hỏi xác suất hàng đến từ lô A, lấy số món vừa qua lọc vừa thuộc A chia tổng số món đã qua lọc.

Nâng cao

6 câu. Giải bài toán nhiều bước, kiểm điều kiện hình học và xác suất theo nhánh.

Ví dụ kiểm giao có thật trên đường đi
Nếu phương trình mặt cầu cắt đường thẳng tại hai tham số −1 và 4 nhưng thiết bị chỉ đi trong 0≤t≤5, thiết bị gặp mặt cầu tại t=4. Mốc −1 chỉ thuộc đường kéo dài.

Luyện lại

6 câu. Câu mới theo những kỹ năng dễ nhầm.

Đọc lại kiến thức

Đọc lại Chương IV · Nguyên hàm và tích phân

Đọc lại Chương V · Phương pháp tọa độ trong không gian

Đọc lại Chương VI · Xác suất có điều kiện

Ôn tập cuối năm · Cả hai tập

Sang mục Luyện đề 90 phút

Tìm nguyên hàm và tính tích phân

Tìm hằng số C nếu đề cho một điều kiện ban đầu. Tính ∫abf(x) dx bằng F(b)−F(a) với F′=f. Khi mô hình cho vận tốc có dấu, tích phân có dấu tính biến thiên ròng. Để tính tổng độ dài đường đi, lấy tích phân của tốc độ ∣v(t)∣.

Lập tích phân từ hình

Tìm giao điểm để lập cận. Khi hai đồ thị đổi thứ tự, tách tích phân tại giao điểm. Thiết diện vành khăn có diện tích π(R2−r2), với R và r là khoảng cách từ trục quay đến hai biên. Kiểm đơn vị bình phương hoặc lập phương.

Chọn phương trình trong không gian

Đường thẳng dùng một điểm và một vectơ chỉ phương. Mặt phẳng dùng một điểm và một vectơ pháp tuyến. Để tìm giao, thay tọa độ tham số vào phương trình mặt phẳng. Khi mô hình giới hạn đường đi trong một đoạn, chỉ nhận tham số thuộc đoạn đó.

Xác định đại lượng hình học

Với vectơ chỉ phương u⃗ và pháp tuyến n⃗, sin của góc φ giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng ∣u⃗⋅n⃗∣/(∥u⃗∥∥n⃗∥). Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là trị tuyệt đối của biểu thức mặt phẳng chia cho độ dài pháp tuyến. Mặt phẳng cách tâm d<R cắt mặt cầu bán kính R theo đường tròn bán kính R2−d2.

Xác định điều kiện trước khi chọn mẫu số

Nếu P(B)>0 thì P(A∣B)=P(A∩B)/P(B). Đọc biến cố sau dấu điều kiện trước. Trong bài rút không hoàn lại, cập nhật số phần tử còn lại trước lần rút tiếp theo.

Phân nhánh và suy ngược

Mỗi nhánh cùng đi đến kết quả H đóng góp một xác suất giao. Cộng các kết quả ấy để tính P(H). Khi đã biết H xảy ra, chia xác suất giao trên nhánh cần tìm cho P(H) nếu mẫu số dương.

Tự luận trên giấy

Viết lập luận trước, sau đó đối chiếu với lời giải và các bước tự kiểm.

Bài 1 · Từ thể tích đến chiều cao mực nước

Một bể có thiết diện ngang tại độ cao y là hình vuông cạnh y+2 mét với 0≤y≤2. Tính dung tích của bể. Nếu thể tích nước là 19/3 m³, hãy tìm độ cao mực nước và giải thích vì sao nghiệm là duy nhất.
Mở gợi ý
Lập hàm thể tích theo độ cao. Diện tích thiết diện luôn dương.
Xem lời giải và tự kiểm
Với độ cao nước h∈[0;2], thể tích là V(h)=∫0h(y+2)2 dy=((h+2)3−8)/3. Từ đó dung tích bằng V(2)=56/3 m³. Nếu V(h)=19/3 thì (h+2)3=27 và h=1 m. Vì V′(h)=(h+2)2>0 trên đoạn, nghiệm là duy nhất.
  • Lập tích phân có cận từ đáy đến mực nước.
  • Tính dung tích và ghi đúng đơn vị.
  • Tìm mực nước thuộc đoạn đã cho và kiểm tính duy nhất.

Bài 2 · Cửa kiểm tra trên hành trình trong không gian

Một thiết bị đi thẳng từ M(0;1;2) đến N(4;5;6) với tốc độ không đổi trong 8 giây. Cửa kiểm tra nằm trong mặt phẳng (P):x+2z=13. Tìm thời điểm và vị trí cắt mặt phẳng, sau đó tính sin của góc giữa đường đi và mặt phẳng.
Mở gợi ý
Tham số hóa đường đi theo phần hành trình đã đi được. Dùng pháp tuyến để tính sin góc.
Xem lời giải và tự kiểm
Điểm trên hành trình có dạng (4s;1+4s;2+4s) với 0≤s≤1. Thay vào phương trình mặt phẳng được 4+12s=13, nên s=3/4. Vị trí là (3;4;5) tại thời điểm 8s=6 giây. Có thể dùng vectơ chỉ phương (1;1;1) và pháp tuyến (1;0;2). Sin góc bằng 3/(35)=15/5.
  • Viết đường đi có đúng hướng và kiểm tham số thuộc đoạn.
  • Đổi tham số thành thời gian và nêu tọa độ giao điểm.
  • Dùng đúng công thức góc giữa đường và mặt phẳng.

Bài 3 · Đánh giá cảnh báo sau hai lần đo

Một thiết bị thuộc loại cần bảo trì với xác suất 1/4. Trong nhóm cần bảo trì, một lần đo cho cảnh báo với xác suất 3/5. Trong nhóm còn lại, xác suất cảnh báo là 1/5. Tiến hành hai lần đo trên cùng một thiết bị, độc lập khi biết nhóm. Tính xác suất có đúng một cảnh báo. Nếu thấy đúng một cảnh báo, tính xác suất thiết bị cần bảo trì.
Mở gợi ý
Trong mỗi nhóm, đúng một cảnh báo có thể xảy ra theo hai thứ tự.
Xem lời giải và tự kiểm
Gọi A là biến cố cần bảo trì và E là biến cố có đúng một cảnh báo. Theo hai thứ tự, P(E∣A)=2(3/5)(2/5)=12/25, còn P(E∣A‾)=2(1/5)(4/5)=8/25. Do đó P(E)=(1/4)(12/25)+(3/4)(8/25)=9/25. Khi đã có đúng một cảnh báo, P(A∣E)=(3/25)/(9/25)=1/3.
  • Tính đủ hai thứ tự xuất hiện cảnh báo.
  • Dùng đúng trọng số hai nhóm để tính xác suất toàn phần.
  • Mẫu số của xác suất sau quan sát là 9/25.