Tự luyện Toán 12 · Ôn tập cuối năm

Dấu $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ xác định chiều biến thiên trên từng khoảng. Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm liên tục trên đoạn, so sánh giá trị ở hai đầu mút và các điểm trong đoạn cần xét, kể cả điểm hàm xác định mà đạo hàm không tồn tại. Với phân thức, kiểm giới hạn trước khi kết luận về tiệm cận.

Dùng dữ kiện ban đầu để xác định hằng số của nguyên hàm. Diện tích giữa hai đường là ${\int }_a^b\mathrm{\mid }f(x)-g(x)\mathrm{\mid }dx$. Với tiết diện vuông góc trục quay là vành khăn, tích phân của $\pi (R^2-r^2)$ cho thể tích, trong đó $R$ và $r$ lần lượt là bán kính ngoài và bán kính trong.

Nếu $I$ là trung điểm của $AB$ thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$. Để tìm bóng của $A$ từ nguồn sáng $S$ trên mặt phẳng, viết phương trình đường thẳng $SA$ và giải giao điểm. Với hình chiếu vuông góc, đường chiếu có phương của pháp tuyến.

Với mẫu ghép nhóm, vị trí các tứ phân vị thứ nhất và thứ ba dùng các mốc $n\mathrm{/}4$ và $3n\mathrm{/}4$. Nội suy trong đúng nhóm chứa mốc. Khi tính phương sai mẫu ghép nhóm theo SGK, dùng giá trị đại diện của các nhóm và chia tổng có trọng số cho $n$.

Nếu $P(H)>0$ thì $P(A\mid H)=P(A\cap H)\mathrm{/}P(H)$. Khi $H$ đến từ nhiều nhóm rời nhau, tính xác suất mỗi giao theo nhánh rồi cộng các giao đó để có $P(H)$. Với bảng tần số, mẫu số là tổng của hàng hoặc cột thể hiện điều kiện.

Ghi rõ miền thời gian, đơn vị, hướng chiếu và dữ kiện đã biết. Tích phân vận tốc có dấu cho độ dịch chuyển. Tích phân tốc độ cho quãng đường. Khi lập mô hình dừng xe, chỉ dùng công thức vận tốc trong khoảng từ lúc phanh đến lúc dừng.

Trong một mô hình chuyển động thẳng, vận tốc của xe là $v(t)=2+6t-t^2$ tính bằng $\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$ trong $0\le t\le 5$, với $t$ tính bằng giây. (a) Xe đạt tốc độ lớn nhất lúc nào và bằng bao nhiêu? (b) Tính quãng đường trong $5$ giây. (c) Tính riêng quãng đường trong thời gian tốc độ ít nhất $10\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}$.

Cho $f(x)={\displaystyle \frac{3x+2}{x+1}}$ và $g(x)=x^3-12x$. (a) Tìm tiệm cận, khoảng đơn điệu, giao điểm với các trục và phác họa đồ thị $f$. (b) Tìm cực trị của $g$ và phác họa đồ thị $g$ bằng các giao điểm với trục hoành. (c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $f$, đường thẳng $y=2$ và hai đường $x=0$, $x=3$.

Trong hệ trục $Oxyz$ tính theo mét, nguồn sáng điểm ở $S(0;0;6)$ và đoạn dây có hai đầu $A(1;2;3)$, $B(-2;1;2)$. Gọi $A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }}$ là giao điểm của hai tia $SA,SB$ với mặt phẳng $z=0$. (a) Tìm tọa độ $A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }}$ và độ dài $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$. (b) Chứng minh hình chiếu xuyên tâm của đoạn $AB$ lên $z=0$ từ $S$ là cả đoạn $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$. (c) Tìm bóng của trung điểm $M$ của $AB$ và kiểm xem điểm đó có là trung điểm của $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ hay không.

Bảng ghi thời gian hoàn thành thử thách của $40$ lượt chơi. Chọn đều một lượt. Gọi $A$ là biến cố lượt đó kéo dài ít nhất $30$ phút. Hệ thống gắn nhãn theo dõi $H$ với xác suất $3\mathrm{/}4$ trong nhóm $A$ và với xác suất $1\mathrm{/}7$ trong nhóm còn lại. (a) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. (b) Tính $P(H)$ và $P(A\mid H)$. (c) Đổi điều kiện thành “không gắn nhãn”, tính $P(A\mid \bar{H})$ và giải thích vì sao mẫu số thay đổi.

Trong một mô hình kiểm linh kiện, xác suất linh kiện cần hiệu chỉnh là $1\mathrm{/}4$. Gọi $A$ là biến cố “cần hiệu chỉnh”, $H$ là biến cố “có cảnh báo” và $t\in [0;1]$ là ngưỡng cài đặt. Giả sử $P(H\mid A)=1-t\mathrm{/}2$ và $P(H\mid \bar{A})=(1-t{)}^2$. Mỗi linh kiện thuộc $A$ mà không được cảnh báo gây chi phí $4$ đơn vị. Mỗi linh kiện thuộc $\bar{A}$ nhưng được cảnh báo gây chi phí $1$ đơn vị. Các trường hợp khác có chi phí $0$. (a) Lập biểu thức chi phí kỳ vọng cho một linh kiện. (b) Tìm ngưỡng làm chi phí kỳ vọng nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất. (c) Tại ngưỡng đó, tính xác suất linh kiện cần hiệu chỉnh khi biết có cảnh báo.