Nhóm đối xứng của tam giác đều: sáu phép biến hình và phép hợp thành
Liệt kê sáu đối xứng của tam giác đều, tính hợp thành và chứng minh nhóm không giao hoán; xác định đẳng cấu với nhóm hoán vị S₃.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Đối xứng của tam giác đều là phép dời hình của toàn mặt phẳng đưa tam giác về chính nó. Theo dõi ảnh của ba đỉnh giúp liệt kê đủ các phép ấy và tính hợp thành mà không cần đo lại mọi điểm.
Mục tiêu: chứng minh có đúng sáu đối xứng; giữ rõ thứ tự hợp thành; phân biệt nhóm không giao hoán cấp sáu với nhóm cyclic cùng cấp.
Kiến thức cần biết: phép quay, đối xứng trục, hợp thành ánh xạ và khái niệm nhóm.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Từ phép dời hình đến một nhóm
Cho tam giác đều $ABC$ có tâm $O$ trong mặt phẳng Euclide. Gọi $D_{2\cdot3}$ là tập các đẳng cự của mặt phẳng đưa tam giác này thành chính nó. Phép toán là hợp thành, viết $uv=u\circ v$: thực hiện $v$ trước, rồi $u$. Ký hiệu $D_{2\cdot3}$ ở đây chỉ nhóm có $6$ phần tử; sách khác có thể gọi $D_3$ hoặc $D_6$, nên cần kiểm quy ước.
Hợp thành hai phép giữ khoảng cách vẫn giữ khoảng cách và đưa tam giác về chính nó, nên phép toán đóng. Hợp thành ánh xạ có tính kết hợp. Phép đồng nhất là phần tử đơn vị. Một đẳng cự là song ánh; nếu đưa tam giác lên chính nó thì nghịch đảo cũng giữ khoảng cách và đưa tam giác về chính nó. Bốn điều này chứng minh $D_{2\cdot3}$ là một nhóm.
Mỗi đối xứng hoán vị tập ba đỉnh. Có thể nhận ra các đỉnh là ba điểm cực biên của miền tam giác; đẳng cự bảo toàn đoạn thẳng nên bảo toàn các điểm này. Vì vậy có nhiều nhất $3!=6$ cách cho ảnh của ba đỉnh, miễn là hai đẳng cự có cùng ảnh ba đỉnh phải trùng nhau.
Để kiểm điều cuối, một đẳng cự cố định ba điểm không thẳng hàng sẽ cố định mọi điểm $X$: ảnh của $X$ có cùng khoảng cách tới cả ba điểm ấy. Trừ từng cặp phương trình bình phương khoảng cách cho hai phương trình tuyến tính độc lập, xác định duy nhất $X$. Do đó tác động lên ba đỉnh là trung thành, tức là chỉ đồng nhất mới cố định cả ba đỉnh.
2. Liệt kê sáu phần tử
Chọn thứ tự các đỉnh $A,B,C$ ngược chiều kim đồng hồ. Viết $(X,Y,Z)$ để chỉ ảnh lần lượt của $(A,B,C)$; đây không phải ký hiệu chu trình. Đặt $r$ là phép quay tâm $O$ góc $2\pi/3$, và $s$ là đối xứng qua $OA$.
Sáu phép có ảnh đỉnh khác nhau, nên chúng phân biệt. Kết hợp với chặn trên ở mục 1, đây là toàn bộ nhóm, không còn phép dời hình nào khác giữ tam giác. Nếu đổi thứ tự định hướng các đỉnh, hai góc quay dương và âm sẽ đổi vai; các hoán vị và cấu trúc nhóm vẫn được xác định rõ.
Các quan hệ $r^3=e$, $s^2=e$, $srs=r^{-1}$ được kiểm trên ba đỉnh. Chúng cho $sr=r^{-1}s$, nên có thể chuyển mọi chữ $s$ về bên phải và rút gọn mọi tích thành $r^a s^b$, với $0\le a<3$, $0\le b<2$. Quy tắc này tính hợp thành trực tiếp; sáu dạng đã liệt kê đều khác nhau.
3. Ví dụ tính tích và nhận ra S₃
Ví dụ 1. Hai thứ tự cho hai kết quả
Tại đỉnh $A$, có $rs(A)=r(A)=B$, còn $sr(A)=s(B)=C$. Vì $B\ne C$, suy ra $rs\ne sr$. Do đó đây là nhóm cấp $6$ không giao hoán, dù $r$ riêng lẻ sinh nhóm con cyclic cấp $3$.
Ví dụ bổ sung 2. Một tích hai phản xạ
Vì $L_1=s$, $L_3=rs$, có $L_1L_3=srs=r^{-1}=r^2=L_5$. Theo thứ tự ngược, $L_3L_1=rss=r=L_4$. Hai phép phản xạ hợp thành một phép quay, và thứ tự chọn quyết định chiều quay.
Ví dụ bổ sung 3. Đồng nhất với nhóm hoán vị
Ánh xạ mỗi đẳng cự tới hoán vị nó tạo ra trên $\{A,B,C\}$ bảo toàn hợp thành. Nó đơn ánh theo lập luận ba điểm không thẳng hàng và có ảnh gồm đủ sáu hoán vị, nên là đẳng cấu $D_{2\cdot3}\cong S_3$. Cụ thể $r$ ứng với $(ABC)$ và $s$ ứng với $(BC)$. Điều này nối mô hình hình học với mô hình hoán vị, không chỉ so sánh số phần tử.
4. Bài tập tự luyện
- Tìm cấp của $L_1,L_4,L_5$.
- Tính $(rs)^2$ bằng quan hệ đã nêu.
- Nhóm đối xứng này có cyclic không? Vì sao cấp bằng6 chưa đủ để kết luận?
Mở gợi ý và đáp án
- $L_1=s$ có cấp $2$; $r,r^2$ đều có cấp $3$.
- $rsrs=r(srs)=rr^{-1}=e$; $rs\ne e$ nên cấp $2$.
- Không, vì mọi nhóm cyclic đều giao hoán nhưng $rs\ne sr$. Cùng cấp không buộc hai nhóm đẳng cấu.
5. Những lỗi cần tránh
Không thực hiện phép bên trái trước khi quy ước là hợp thành từ phải sang trái. Không đồng nhất bộ ảnh ba đỉnh với chu trình. Không suy nhóm cyclic chỉ từ cấp sáu; phải xét phép toán hoặc phần tử sinh.
Để lại một bình luận