Biểu diễn số phức: mặt phẳng, môđun và argument

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Dạng đại số cho tọa độ của số phức; môđun là khoảng cách đến gốc, còn argument mô tả phương của vectơ từ gốc đến điểm. Điểm gốc cần được tách vì vectơ 0 không xác định một hướng.

Mục tiêu: biểu diễn số phức và liên hợp, tính môđun, chọn góc đúng góc phần tư và viết toàn bộ argument.

Kiến thức cần biết: tọa độ phẳng, định lý Pythagore và đường tròn lượng giác.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Mặt phẳng phức và các phép đối xứng

Số phức $z=a+bi$ ứng với duy nhất điểm $M=(a;b)$ trong mặt phẳng tọa độ. Trục hoành là trục thực, trục tung là trục ảo. Chiều ngược lại, mỗi điểm cho một số phức bằng hai tọa độ ấy.

Liên hợp $\overline z=a-bi$ ứng với $M'=(a;-b)$, đối xứng $M$ qua trục thực. Số đối $-z=-a-bi$ ứng với điểm đối xứng $M$ qua gốc. Hai phép này khác nhau; chúng chỉ có thể cho cùng kết quả trong những trường hợp riêng.

Môđun bằng 0 đúng khi $z=0$, và $|\overline z|=|z|=|-z|$. Với hai số phức, khoảng cách giữa các điểm biểu diễn là $|z_1-z_2|$, vì hiệu hai tọa độ cho vectơ nối hai điểm.

2. Dạng lượng giác và các góc tương đương

Giả sử $z\ne0$, đặt $r=|z|>0$. Cặp $(a/r;b/r)$ nằm trên đường tròn đơn vị, nên tồn tại góc $\theta$ thỏa $\cos\theta=a/r$, $\sin\theta=b/r$. Khi đó

Góc $\theta$ là một argument của $z$. Mọi argument của cùng số phức là $\theta+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$. Vì vậy khi không cố định một khoảng giá trị chính, argument được hiểu theo modulo $2\pi$, không phải một số đo duy nhất.

Với $z=0$, môđun bằng 0 nhưng không có argument. Biểu thức $0(\cos\theta+i\sin\theta)=0$ với mọi góc không khiến các góc ấy trở thành hướng của vectơ 0. Khi tìm argument của số khác 0, kiểm cả sin và cos để chọn đúng góc phần tư; chỉ dùng $\tan\theta=b/a$ còn có thể sai góc và không dùng được khi $a=0$.

Liên hợp đổi một argument $\theta$ thành $-\theta$, số đối đổi thành $\theta+\pi$, đều hiểu modulo $2\pi$. Trong dạng lượng giác có thể dùng độ hoặc radian nếu nhất quán; công thức số mũ Euler ở bài sau dùng radian.

3. Hai ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Biểu diễn và môđun của 3 + 4 i

Số $z=3+4i$ có điểm $M=(3;4)$ và môđun $\sqrt{3^2+4^2}=5$. Chân chiếu lên trục thực là $H=(3;0)$, nên tam giác $OHM$ vuông và có hai cạnh góc vuông 3,4. Liên hợp là $3-4i$ có điểm $(3;-4)$, số đối là $-3-4i$ có điểm $(-3;-4)$. Cả ba có môđun 5.

Một argument của $z$ nằm trong góc phần tư I, thỏa $\cos\theta=3/5$, $\sin\theta=4/5$. Khoảng cách từ điểm của $z$ đến điểm của liên hợp là $|8i|=8$, không phải môđun 5 của mỗi điểm.

Ví dụ 2. Dạng lượng giác của 1 + √3 i

Cho $w=1+\sqrt3i$. Môđun là 2; hai tỉ số là $1/2$ và $\sqrt3/2$, nên chọn $\theta=\pi/3=60^\circ$. Do đó

Mọi argument là $\pi/3+2k\pi$. Nếu dùng tam giác với chân chiếu $H=(1;0)$, tỉ số tan là $HM/OH=\sqrt3/1$, không phải $OM/OH$ vì $OM=2$. Cũng có thể rút môđun trực tiếp: $w=2(1/2+i\sqrt3/2)$.

Liên hợp của $w$ có dạng $2[\cos(-\pi/3)+i\sin(-\pi/3)]$; môđun giữ nguyên, argument đổi dấu theo nghĩa modulo. Cách chọn góc từ cả hai tọa độ bảo đảm không nhầm sang góc có cùng tan nhưng ở nửa mặt phẳng đối diện.

4. Tự luyện

1. Viết môđun và một argument của $-1+i$.
2. Viết dạng lượng giác của $-2i$.
3. Số 0 có môđun và argument như thế nào?

5. Những lỗi cần tránh

Không chọn góc chỉ từ tan mà bỏ dấu hai tọa độ. Không nhầm môđun với phần thực hoặc phần ảo. Argument không duy nhất và không được định nghĩa cho 0. Liên hợp đối xứng qua trục thực, số đối đối xứng qua gốc.

6. Học tiếp

Số phức · Một vài tính chất cơ bản của môđun và argument · Căn của số phức · Đường tròn lượng giác.