Môđun và argument: tích, lũy thừa, Moivre và Euler

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Phép nhân số phức nhân các môđun và cộng các góc. Từ công thức tích, quy nạp cho công thức Moivre; công thức Euler cung cấp cách viết gọn bằng số mũ với góc đo bằng radian.

Mục tiêu: chứng minh tính chất chung rồi áp dụng vào các ví dụ; giữ điều kiện số khác 0 khi dùng argument và phân biệt hai số phức gần giống nhau.

Kiến thức cần biết: dạng lượng giác, phép nhân số phức và công thức cộng lượng giác.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Môđun, liên hợp và phạm vi của argument

Với $z=a+bi$, có $|\overline z|=|z|$ vì hai tổng bình phương bằng nhau. Nếu $z\ne0$ có một argument $\alpha$, liên hợp có một argument $-\alpha$ từ đối xứng qua trục thực. Quan hệ góc được hiểu modulo $2\pi$.

Không gán argument cho 0. Các công thức argument của tích hoặc lũy thừa chỉ dùng khi những số liên quan khác 0. Nếu chọn giá trị chính trong một khoảng dài $2\pi$, sau khi cộng góc có thể cần điều chỉnh thêm bội $2\pi$; không dùng đẳng thức số thực tùy ý cho mọi giá trị chính.

2. Tích dẫn đến Moivre, rồi dạng Euler

Cho $z_j=r_j(\cos\alpha_j+i\sin\alpha_j)$, $r_j>0$. Khai triển tích, dùng $i^2=-1$ và hai công thức cộng cho

Vì $r_1r_2>0$, môđun tích là $r_1r_2$ và một argument là $\alpha_1+\alpha_2$. Đẳng thức $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ vẫn đúng nếu có số 0, vì cả hai vế khi ấy bằng 0. Có thể kiểm đại số bằng hằng đẳng thức

Lặp công thức tích bằng quy nạp cho mọi số nguyên $n\ge1$: nếu $z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\ne0$, thì

Bước đầu $n=1$ đúng; nhân thêm $z$ vào công thức tại $n$ cộng góc thành $(n+1)\alpha$ và nhân môđun thêm $r$. Đây là công thức Moivre. Suy ra $|z^n|=|z|^n$; đẳng thức môđun cũng đúng với $z=0$, còn góc thì không đặt cho trường hợp đó.

Sử dụng kết quả chuẩn Euler, không chứng minh ở bài này: với $\theta\in\mathbb R$ tính bằng radian, $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$. Khi đó $z=re^{i\alpha}$ và Moivre viết gọn $z^n=r^ne^{in\alpha}$. Không viết $e^{i30}$ để chỉ góc $30^\circ$; cần $e^{i\pi/6}$. Công thức Moivre ở trên đã được suy ra từ phép nhân, không phụ thuộc việc coi Euler là chứng minh cho chính công thức tích.

3. Bốn ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Liên hợp của 1 + √3 i

Với $z=1+\sqrt3i$ và $\overline z=1-\sqrt3i$, cả hai môđun bằng 2. Chọn hai argument $\pi/3$ và $-\pi/3$, tương ứng $60^\circ$ và $-60^\circ$. Hai dạng lượng giác lần lượt dùng dấu của hai góc ấy; chúng biểu diễn hai điểm đối xứng qua trục thực.

Ví dụ 2. Nhân hai dạng lượng giác

Cho $z_1=\sqrt3-i$, $z_2=1+\sqrt3i$. Cả hai có môđun 2, có thể chọn góc $-\pi/6$ và $\pi/3$. Tích có môđun 4, góc $\pi/6$, nên

Khai triển $(\sqrt3-i)(1+\sqrt3i)$ cũng cho cùng kết quả. Hai cách kiểm cùng một số phức bằng cả hai thành phần.

Ví dụ 3. Ba lũy thừa của √3 + i

Đặt $u=\sqrt3+i=2[\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)]$. Moivre cho

Ví dụ 4. Phân biệt hai dạng Euler

Vẫn $u=\sqrt3+i$, ta có $u=2e^{i\pi/6}$; tính $u^2,u^3,u^4$ theo số mũ cho đúng ba kết quả ở ví dụ 3. Nếu số cần xét là $v=1+\sqrt3i$, thì $v=2e^{i\pi/3}$, có góc khác. Khi ấy

Hai số $u,v$ có cùng môđun 2 nhưng argument khác nhau; không đổi tên số phức giữa dòng đề và các bước tính. Số $u^4$ có phần thực $-8$, phù hợp góc $2\pi/3$ ở góc phần tư II.

4. Tự luyện

1. Tính môđun và một argument của $(1+i)(1-i)$.
2. Tính $(1+i)^4$ bằng Moivre hoặc khai triển.
3. Nếu $z\ne0$ có argument $\alpha$, một argument của $z^3$ là gì? Có áp dụng cho $z=0$ không?

5. Những lỗi cần tránh

Không dùng argument như một số đo duy nhất khi chưa chọn nhánh. Không đặt góc cho 0. Không dùng độ thay radian trong số mũ Euler. Phải theo cùng một số phức qua mọi bước; môđun bằng nhau không làm các argument bằng nhau.

6. Học tiếp

Số phức · Sự biểu diễn của số phức · Căn của số phức · Nghiệm của phương trình bậc hai · Công thức lượng giác.