Bất phương trình bậc hai: đọc dấu và viết tập nghiệm

2016-05-11 huynhvietkhanh Đã xem: 42,259 Phản hồi: 0

Giải bốn dạng bất phương trình bằng bảng dấu tam thức; kiểm tra đầu mút, nghiệm kép và các trường hợp hệ số đầu bằng 0.

THPTĐại số

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Giải bất phương trình bậc hai là chọn những khoảng mà tam thức có dấu đúng với yêu cầu. Hai dấu $>$ và $\ge$ có thể cho các tập nghiệm khác nhau chỉ ở nghiệm của tam thức, nhưng các điểm ấy không được bỏ qua.

Mục tiêu: giải bốn dạng bất phương trình; viết tập nghiệm bằng khoảng và hợp; xử lý nghiệm kép, hệ số đầu âm và điều kiện tham số.

Kiến thức cần biết: phương trình bậc hai, dấu tam thức và ký hiệu tập hợp.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Bốn dạng và điều kiện

Các dạng cơ bản là $ax^2+bx+c>0$, $<0$, $\ge0$ và $\le0$, với $a\ne0$. Trước khi giải, đưa về một vế so sánh với $0$ và giữ các điều kiện xác định nếu bài toán còn có căn hoặc mẫu số.

Tìm nghiệm của phương trình tương ứng, xét dấu tam thức trên các khoảng, rồi lấy những khoảng phù hợp. Dấu nghiêm ngặt loại nghiệm của tam thức; dấu không nghiêm ngặt nhận các điểm bằng $0$. Khi $a$ chứa tham số, xét riêng $a=0$ trước khi dùng quy tắc bậc hai.

2. Đọc dấu thành tập nghiệm

Nếu tam thức có hai nghiệm $x_1<x_2$, dấu ở hai khoảng bên ngoài giống dấu của $a$, còn dấu ở khoảng giữa ngược lại. Với nghiệm kép, dấu không đổi qua nghiệm nhưng tại nghiệm vẫn bằng $0$. Nếu vô nghiệm thực, dấu luôn giống $a$.

Khi cần chọn hai khoảng bên ngoài, dùng từ “hoặc” hoặc ký hiệu hợp $\cup$, không viết hai điều kiện thành một hệ phải cùng thỏa. Trước khi kết luận, kiểm riêng các đầu mút và đối chiếu với miền xác định ban đầu.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Bốn dấu với hai nghiệm phân biệt

Với $f(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, có hai nghiệm $1,2$, hệ số đầu dương. Vì vậy:

$$\begin{aligned}f(x)>0&\Longleftrightarrow x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty),\\f(x)<0&\Longleftrightarrow x\in(1;2),\\f(x)\ge0&\Longleftrightarrow x\in(-\infty;1]\cup[2;+\infty),\\f(x)\le0&\Longleftrightarrow x\in[1;2].\end{aligned}$$

Hai điểm $1,2$ được thêm vào hai tập nghiệm ở các dấu không nghiêm ngặt, vì giá trị của tam thức tại đó bằng $0$.

Ví dụ 2. Bốn dấu với nghiệm kép

Đặt $g(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$. Bất phương trình $g(x)>0$ có tập nghiệm $\mathbb R\setminus\{1\}$; $g(x)<0$ vô nghiệm; $g(x)\ge0$ đúng với mọi số thực; $g(x)\le0$ có tập nghiệm $\{1\}$. Kiểm bằng bình phương không âm cho thấy dấu $\le0$ chỉ nhận điểm có bình phương bằng $0$.

Ví dụ 3. Luôn âm

Đặt $h(x)=-x^2+2x-3=-(x-1)^2-2$. Biểu thức luôn âm. Do đó $h(x)>0$ và $h(x)\ge0$ đều vô nghiệm; $h(x)<0$ và $h(x)\le0$ có tập nghiệm $\mathbb R$. Cả bốn câu đều đang xét cùng đa thức $h$, không thay sang một tam thức khác trong bước kết luận.

Ví dụ 4. Nhân với hệ số âm

Giải $-2x^2+6x-4\ge0$. Viết $-2(x-1)(x-2)\ge0$, rồi chia cho $-2$ phải đổi chiều thành $(x-1)(x-2)\le0$. Tập nghiệm là $[1;2]$. Có thể giải trực tiếp bằng bảng dấu với $a=-2$ để kiểm tra.

4. Tự luyện

Giải $2x^2-5x-3<0$.
Giải $mx^2-1\le0$ theo tham số thực $m$.
Giải đồng thời $x^2-3x+2\le0$ và điều kiện $x<3/2$.

Gợi ý và đáp án

Hai nghiệm là $-1/2$ và $3$. Hệ số đầu dương, nên tập nghiệm là $(-1/2;3)$.
Nếu $m\le0$, ta có $mx^2-1<0$ với mọi $x$, nên tập nghiệm là $\mathbb R$; trường hợp $m=0$ được xét trực tiếp. Nếu $m>0$, yêu cầu tương đương $x^2\le1/m$. Tập nghiệm là
$$\left[-\frac1{\sqrt m};\frac1{\sqrt m}\right].$$
Bất phương trình cho $[1;2]$. Giao với $(-\infty;3/2)$ được $[1;3/2)$. Đầu mút $3/2$ bị loại bởi điều kiện bổ sung.

5. Những lỗi cần tránh

Không nhầm hợp hai khoảng với giao hai điều kiện. Không quên đổi chiều khi chia cho số âm. Tại nghiệm kép, chỉ một điểm bằng $0$ cũng có thể quyết định toàn bộ đáp án. Nếu bài có mẫu hoặc căn, giải tam thức chưa phải bước kết luận cuối khi chưa xét miền xác định.

6. Học tiếp

Phương trình bậc hai · Dấu của tam thức bậc hai · Các định lý so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với số $\alpha$.