Ôn phương trình bậc hai lớp 10: công thức nghiệm và biện luận tham số

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Bài này xét phương trình có hệ số thực và nghiệm thực. Trước khi dùng công thức bậc hai, phải kiểm tra hệ số của $x^2$ khác $0$; sau đó biệt thức xác định số nghiệm.

Mục tiêu: giải phương trình bậc hai, dùng biệt thức thu gọn và biện luận các giá trị tham số làm thay đổi số nghiệm.

Kiến thức cần biết: hằng đẳng thức, căn bậc hai không âm và phương trình bậc nhất.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Dạng phương trình và biệt thức

Cho $ax^2+bx+c=0$, với $a,b,c\in\mathbb R$ và $a\ne0$. Đặt $\Delta=b^2-4ac$. Biến đổi phương trình tương đương thành $(2ax+b)^2=\Delta$ cho ba trường hợp: nếu $\Delta>0$, có hai nghiệm thực phân biệt; nếu $\Delta=0$, có một nghiệm kép; nếu $\Delta<0$, không có nghiệm thực.

Khi $\Delta\ge0$, các nghiệm được tính bởi

Với $\Delta=0$, hai giá trị trùng nhau tại $x_0=-b/(2a)$; tập nghiệm chỉ có một phần tử. Với $\Delta>0$, ký hiệu dấu cộng và trừ chưa tự sắp thứ tự nghiệm nếu $a<0$. Khi cần $x_1<x_2$, phải sắp lại hai giá trị đã tính.

2. Biệt thức thu gọn và trường hợp suy biến

Viết $b=2b'$, tức $b'=b/2$, rồi đặt $\Delta'=b'^2-ac$. Đây là một số thực có thể âm, bằng $0$ hoặc dương; không lấy căn khi định nghĩa nó. Ta có $\Delta=4\Delta'$. Vì vậy nếu $\Delta'\ge0$, công thức thu gọn là

Cách viết này đúng với mọi $b$ thực; khi $b$ là số nguyên chẵn thì phép tính thường đơn giản hơn. Vẫn xét ba trường hợp theo dấu $\Delta'$ như với $\Delta$.

Nếu hệ số phụ thuộc tham số và có giá trị làm $a=0$, phương trình không còn bậc hai. Khi ấy xét $bx+c=0$: nếu $b\ne0$, nghiệm là $-c/b$; nếu $b=0,c=0$, mọi số thực đều là nghiệm; nếu $b=0,c\ne0$, vô nghiệm. Không chia cho $a$ trước khi tách trường hợp này.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hai nghiệm phân biệt

Giải $x^2-4x+3=0$. Có $\Delta=16-12=4$, nên $x=(4\pm2)/2$, được $x=1$ hoặc $x=3$. Cũng có thể viết $x^2-4x+3=(x-2)^2-1$, nên $(x-2)^2=1$. Hai cách cho cùng tập nghiệm $\{1;3\}$.

Ví dụ 2. Nghiệm kép

Giải $x^2-4x+4=0$. Vì $\Delta=0$, nghiệm kép là $-(-4)/2=2$. Phân tích trực tiếp $(x-2)^2=0$ cũng cho $x=2$; không tính đây là hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 3. Không có nghiệm thực

Giải $x^2-4x+5=0$. Biệt thức bằng $-4<0$, nên không có nghiệm thực. Điều này cũng theo từ $x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$ với mọi $x\in\mathbb R$. Kết luận này dùng phạm vi nghiệm thực đã nêu đầu bài.

Ví dụ 4. Điều kiện có hai nghiệm phân biệt

Tìm $m$ để $x^2-3x+3m=0$ có hai nghiệm phân biệt. Hệ số bậc hai luôn bằng $1$, nên chỉ cần $\Delta=9-12m>0$. Suy ra $m<3/4$. Tại $m=3/4$, nghiệm là nghiệm kép nên không thuộc đáp án.

Ví dụ 5. Giải và biện luận

Xét $x^2-2x+m=0$. Vì $\Delta'=1-m$, nếu $m<1$ thì hai nghiệm phân biệt là $x=1\pm\sqrt{1-m}$. Nếu $m=1$, nghiệm kép là $x=1$. Nếu $m>1$, không có nghiệm thực. Có thể kiểm toàn bộ kết quả bằng dạng $(x-1)^2=1-m$.

4. Tự luyện

1. Giải $2x^2-3x-2=0$.
2. Tìm $m$ để $x^2+2x+m=0$ có nghiệm kép và tìm nghiệm ấy.
3. Giải và biện luận $mx^2+2x-1=0$ theo $m\in\mathbb R$.

5. Những lỗi cần tránh

Giữ đúng dấu của $b$ trong $-b$. Không định nghĩa $\Delta'$ bằng căn bậc hai. Khi hoàn thành bình phương, phải giữ hằng số để được phương trình tương đương. Tách hệ số bậc hai bằng $0$ trước công thức nghiệm; chỉ nói vô nghiệm trong trường số đang xét.