Dấu tam thức bậc hai lớp 10: ba trường hợp và tham số

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Xét dấu một tam thức là tìm nơi nó dương, âm hoặc bằng $0$. Dấu của hệ số bậc hai và số nghiệm thực quyết định kết quả; nghiệm kép cần được giữ lại dù dấu hai bên không đổi.

Mục tiêu: đọc đúng ba trường hợp theo biệt thức; xét dấu với hệ số đầu âm hoặc dương; tìm điều kiện đúng với mọi số thực.

Kiến thức cần biết: phương trình bậc hai thực, phân tích nhân tử và bình phương không âm.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Giữ điều kiện tam thức bậc hai

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$, với $a\ne0$, và đặt $\Delta=b^2-4ac$. Ta xét trên toàn bộ $\mathbb R$. Nghiệm của tam thức là nghiệm của phương trình $f(x)=0$; nói phương trình vô nghiệm không có nghĩa giá trị của hàm số không tồn tại.

Dạng hoàn thành bình phương là

Nhân với $a$ được $af(x)=a^2(x+b/(2a))^2-\Delta/4$. Đẳng thức này giải thích trực tiếp hai trường hợp không có nghiệm và nghiệm kép.

2. Ba quy tắc dấu

Nếu $\Delta<0$, thì $af(x)>0$ với mọi $x$. Nói cách khác, $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$ và không bằng $0$ ở đâu.

Nếu $\Delta=0$, đặt $x_0=-b/(2a)$. Khi đó $f(x)=a(x-x_0)^2$: $f(x_0)=0$, còn $af(x)>0$ với mọi $x\ne x_0$. Muốn dùng điều này làm tiêu chuẩn nhận nghiệm kép, phải có cả điều kiện bằng $0$ tại $x_0$; chỉ dương ngoài một điểm chưa đủ loại trường hợp $\Delta<0$.

Nếu $\Delta>0$, sắp hai nghiệm thành $x_1<x_2$. Vì $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, dấu của $f$ cùng dấu $a$ ở ngoài khoảng hai nghiệm, trái dấu $a$ ở trong, và bằng $0$ tại hai nghiệm. Cụ thể, $af(x)>0$ khi $x<x_1$ hoặc $x>x_2$, còn $af(x)<0$ khi $x_1<x<x_2$.

Với $a\ne0$, điều kiện $f(x)>0$ cho mọi số thực tương đương $a>0,\Delta<0$. Nếu chỉ cần $f(x)\ge0$ với mọi số thực, thay bởi $a>0,\Delta\le0$. Hai tiêu chuẩn tương ứng cho âm và không dương dùng $a<0$. Nếu $a$ phụ thuộc tham số, phải xét riêng giá trị $a=0$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Luôn dương

Với $f(x)=x^2-2x+3$, có $\Delta=-8<0$, hệ số đầu dương, nên $f(x)>0$ với mọi $x$. Cũng có $f(x)=(x-1)^2+2>0$.

Ví dụ 2. Nghiệm kép là điểm bằng 0

Với $f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$, ta có $f(1)=0$ và $f(x)>0$ khi $x\ne1$. Hàm không âm trên toàn trục số, nhưng không dương tại mọi điểm.

Ví dụ 3. Hai nghiệm phân biệt

Với $f(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$, hai nghiệm là $-1,3$. Do $a=1>0$, $f(x)<0$ trên $(-1;3)$, $f(x)>0$ trên $(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$, và bằng $0$ ở hai đầu mút. Nếu nhân cả tam thức với $-1$, các dấu dương và âm đổi chỗ.

Ví dụ 4. Điều kiện dương với mọi x

Tìm $m$ để $x^2+2x+m>0$ với mọi số thực. Ta có $a=1>0$, $\Delta=4-4m$. Yêu cầu tương đương $m>1$. Kiểm bằng $x^2+2x+m=(x+1)^2+m-1$: tại $x=-1$, giá trị nhỏ nhất là $m-1$. Nếu đổi dấu yêu cầu thành $\ge0$, đáp án là $m\ge1$.

4. Tự luyện

1. Xét dấu $f(x)=-2x^2+4x+6$ và tìm nơi $f(x)\ge0$.
2. Tìm $m$ để $x^2+2x+m\ge0$ với mọi $x\in\mathbb R$.
3. Tìm $m$ để $(m-1)x^2+2(m-1)x+m>0$ với mọi số thực $x$, có xét hệ số bậc hai bằng $0$.

5. Những lỗi cần tránh

Không bỏ các nghiệm là điểm bằng $0$. Không áp dụng “ngoài cùng dấu” mà quên dấu của $a$. Phân biệt dấu nghiêm ngặt với không nghiêm ngặt. Không dùng điều kiện $a>0,\Delta<0$ cho trường hợp biểu thức đã suy biến thành một hằng số dương.