Phương trình mặt phẳng trong Oxyz: tổng quát và đoạn chắn

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Một điểm và một pháp tuyến khác vectơ không xác định duy nhất một mặt phẳng. Quan hệ vuông góc này dẫn đến phương trình mặt phẳng và giúp kiểm tra dấu của hệ số tự do.

Trong bài: Điểm–pháp tuyến · Tổng quát · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Phương trình qua một điểm và có pháp tuyến cho trước

Cho $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và $\vec n=(a;b;c)\ne\vec0$. Điểm $M(x;y;z)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ qua $M_0$ có pháp tuyến $\vec n$ đúng khi $\vec n\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$. Với $M\ne M_0$, đây là điều kiện $\overrightarrow{M_0M}$ vuông góc với $\vec n$; với $M=M_0$, đẳng thức đúng vì $\overrightarrow{M_0M}=\vec0$. Vì thế

Đây là dạng điểm–pháp tuyến của phương trình mặt phẳng. Sau khi khai triển, hãy thay lại $M_0$ để kiểm tra hệ số tự do.

2. Dạng tổng quát và dạng đoạn chắn

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng

Một pháp tuyến là $(a;b;c)$. Nhân cả phương trình với một số khác $0$ không đổi mặt phẳng. Nếu $a=b=c=0$, biểu thức không còn xác định mặt phẳng: $d=0$ cho toàn không gian, còn $d\ne0$ cho tập rỗng.

Nếu mặt phẳng cắt ba trục lần lượt tại $A(\alpha;0;0)$, $B(0;\beta;0)$, $C(0;0;\gamma)$, trong đó $\alpha\beta\gamma\ne0$, thì phương trình đoạn chắn là

Ba điểm này không thẳng hàng và đều thỏa mãn phương trình, nên xác định đúng mặt phẳng $(ABC)$. Các đoạn chắn là tọa độ có dấu; chúng có thể âm. Nếu một mẫu số bằng $0$, không dùng dạng này. Khi ấy dùng điểm–pháp tuyến hoặc ba điểm không thẳng hàng.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Qua một điểm và biết pháp tuyến

Viết phương trình mặt phẳng qua $M(2;1;-3)$ và có pháp tuyến $\vec n=(4;2;-1)$. Áp dụng dạng điểm–pháp tuyến:

Khai triển được $4x+2y-z-13=0$. Kiểm tra bằng điểm đã cho: $4\cdot2+2\cdot1-(-3)-13=0$. Hệ số của $z$ là $-1$ và hệ số tự do là $-8-2-3=-13$.

Ví dụ 2. Mặt phẳng vuông góc với trục Ox

Viết phương trình mặt phẳng qua $M_0(-1;1;2)$ và vuông góc với $Ox$. Vì $\vec i=(1;0;0)$ có phương của $Ox$, ta chọn nó làm pháp tuyến. Khi đó $x+1=0$. Hai tọa độ $y,z$ được tự do, phù hợp với mặt phẳng song song $(Oyz)$.

Ví dụ 3. Đọc pháp tuyến và tìm một điểm

Cho $(P):x-2y+3z=0$. Pháp tuyến có thể chọn là $(1;-2;3)$. Đặt $x=1$, $y=2$, ta được $1-4+3z=0$, nên $z=1$. Vậy $M_0(1;2;1)\in(P)$. Gốc tọa độ cũng thuộc mặt phẳng, vì hệ số tự do bằng $0$.

Ví dụ 4. Giữ dấu của đoạn chắn

Viết phương trình mặt phẳng qua $A(2;0;0)$, $B(0;-1;0)$, $C(0;0;3)$. Ba đoạn chắn đều khác $0$, nên

Thay lần lượt $A,B,C$ vào vế trái cho $0$. Tọa độ $-1$ của $B$ phải giữ nguyên dấu; thay nó bằng độ dài $1$ sẽ cho một mặt phẳng khác.

Khi ba điểm không có dạng đoạn chắn, hãy lấy hai vectơ nối từ cùng một điểm và tính tích có hướng. Nếu tích khác $\vec0$, nó là pháp tuyến; sau đó dùng dạng ở mục 1. Nếu tích bằng $\vec0$, ba điểm thẳng hàng và chưa xác định duy nhất một mặt phẳng.

4. Bài tập tự luyện

1. Viết phương trình mặt phẳng qua $M(1;-2;3)$ và có pháp tuyến $(2;-1;1)$.
2. Viết phương trình mặt phẳng qua $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;-1)$.
3. Viết phương trình mặt phẳng qua $M(-2;4;-1)$ và song song với $(Oxy)$.
4. Các phương trình $0x+0y+0z+4=0$ và $0x+0y+0z=0$ có xác định mặt phẳng không?

5. Những lỗi cần tránh

• Viết hạng tử cuối thành $c(y-y_0)$ thay vì $c(z-z_0)$.
• Sai dấu khi khai triển; nên kiểm tra lại bằng điểm thuộc mặt phẳng.
• Dùng dạng đoạn chắn khi một mẫu bằng $0$, hoặc thay tọa độ âm bằng khoảng cách dương.
• Nhận một phương trình có cả ba hệ số $a,b,c$ bằng $0$ là phương trình mặt phẳng.

6. Bài học liên quan và tài liệu gốc

• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
• Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
• Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Mở tài liệu bài tập gốc trên Scribd. Bài viết ở trên đã có phần tự luyện để học ngay.