Góc giữa hai mặt phẳng: định nghĩa và công thức tọa độ

Cập nhật: 22/10/2026

Góc giữa hai mặt phẳng được quy về góc giữa hai pháp tuyến. Dấu giá trị tuyệt đối giúp kết quả không phụ thuộc vào chiều pháp tuyến mà ta chọn.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Góc giữa hai mặt phẳng được chọn thế nào?

Nếu $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $\Delta$, chọn trong mỗi mặt phẳng một đường thẳng vuông góc với $\Delta$ tại cùng một điểm. Góc giữa hai đường thẳng này là góc giữa hai mặt phẳng. Ta lấy góc không vượt quá $90^\circ$. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau, góc giữa chúng bằng $0^\circ$.

Gọi $\varphi\in[0^\circ;90^\circ]$ là góc cần tìm và $\alpha\in[0^\circ;180^\circ]$ là góc giữa hai pháp tuyến $\vec n_P,\vec n_Q$. Khi đó $\varphi=\min\{\alpha,180^\circ-\alpha\}$. Hai góc bằng nhau nếu $\alpha\le90^\circ$; chúng bù nhau nếu $\alpha>90^\circ$.

2. Công thức bằng pháp tuyến

Với hai pháp tuyến khác $\vec0$, ta có

Cho $(P):a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ và $(Q):a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$, trong đó mỗi bộ ba hệ số của $x,y,z$ khác $(0;0;0)$. Chọn $\vec n_P=(a_1;b_1;c_1)$, $\vec n_Q=(a_2;b_2;c_2)$ và tính

Tính tích vô hướng và hai độ dài riêng, rồi tìm $\varphi$ trong đoạn đã quy định. Bất đẳng thức Cauchy bảo đảm tỉ số thuộc $[0;1]$. Tỉ số bằng $0$ khi hai mặt phẳng vuông góc; bằng $1$ khi hai pháp tuyến cùng phương, tức là hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau.

Các hằng số $d_1,d_2$ ảnh hưởng vị trí mặt phẳng, nhưng không xuất hiện trong công thức góc. Nhân phương trình mặt phẳng với số khác $0$ không đổi góc: tử và mẫu cùng được nhân với giá trị tuyệt đối của hệ số đó.

Đổi chiều một pháp tuyến có thể biến góc $\alpha$ thành góc bù; $|\cos\alpha|$ vẫn giữ nguyên. Vì vậy không bỏ dấu tuyệt đối ngay cả khi ví dụ đang xét có tích vô hướng dương. Cũng không dùng công thức sin của góc đường thẳng–mặt phẳng cho bài toán hai mặt phẳng.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Góc giữa hai mặt phẳng trong Oxyz

Tính góc giữa $(P):x+2y+z+4=0$ và $(Q):-x+y+2z+3=0$. Chọn $\vec n_P=(1;2;1)$ và $\vec n_Q=(-1;1;2)$. Ta có

Vì $\varphi\in[0^\circ;90^\circ]$, suy ra $\varphi=60^\circ$.

Ví dụ 2. Tích vô hướng âm

Với $(P):x=0$ và $(Q):-x+y-1=0$, hai pháp tuyến $(1;0;0)$ và $(-1;1;0)$ có tích vô hướng bằng $-1$. Vì vậy $\cos\varphi=1/\sqrt2$ và $\varphi=45^\circ$. Góc giữa hai pháp tuyến được chọn là $135^\circ$; đó không phải góc quy ước giữa hai mặt phẳng.

Ví dụ 3. Hai trường hợp đặc biệt

Hai mặt phẳng $z=0$ và $z=3$ có pháp tuyến cùng phương, nên góc bằng $0^\circ$, dù chúng không có điểm chung. Hai mặt phẳng $z=0$ và $x=0$ có pháp tuyến vuông góc, nên góc bằng $90^\circ$. Nếu hai phương trình chỉ khác một hệ số nhân khác $0$, chúng biểu diễn cùng mặt phẳng và góc vẫn bằng $0^\circ$.

4. Tự luyện

Tính góc giữa từng cặp mặt phẳng:

1. $x+y=0$ và $x+z=1$.
2. $2x-y+z=3$ và $-4x+2y-2z=5$.
3. $x+y+z=1$ và $x-y=2$.

Lỗi cần tránh: pháp tuyến bằng $\vec0$; lấy góc tù giữa hai pháp tuyến làm đáp án; dùng mẫu là bình phương độ dài; bỏ dấu tuyệt đối; nhầm góc $0^\circ$ với kết luận hai mặt phẳng trùng nhau.

5. Học tiếp và tài liệu

Vector pháp tuyến của mặt phẳng · Phương trình mặt phẳng · Vị trí tương đối của hai mặt phẳng · Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: định nghĩa và cách tính.

Tài liệu gốc trên Scribd (liên kết ngoài).