Đến nội dung chính

Công thức lượng giác lớp 11: cộng, nhân đôi và biến đổi

2016-02-07 huynhvietkhanh Đã xem: 3,489 Phản hồi: 0

Vận dụng công thức cộng, nhân đôi, nhân ba và biến đổi tích thành tổng; kiểm tra điều kiện của tan qua các bài tính giá trị và biến đổi lượng giác.

THPTLượng giác

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Công thức cộng là điểm xuất phát để suy ra công thức nhân đôi, nhân ba và biến đổi tích–tổng. Khi rút gọn biểu thức có tan, miền xác định phải được giữ dù kết quả cuối trông đơn giản hơn.

Mục tiêu: chọn đúng nhóm công thức; kiểm điều kiện tan; dùng một công thức để kiểm lại công thức khác.

Kiến thức cần biết: đường tròn lượng giác, các giá trị góc đặc biệt và góc liên kết.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Công thức cộng và trừ

Với mọi góc thực $a,b$, có

$$\begin{aligned}\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\\ \sin(a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b,\\ \cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\\ \cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b.\end{aligned}$$

Có thể kiểm công thức cos hiệu bằng tích vô hướng hai vectơ đơn vị $(\cos a;\sin a)$ và $(\cos b;\sin b)$: tích bằng $\cos(a-b)$. Thay $b$ bởi $-b$ cho cos tổng; dùng $\sin t=\cos(\pi/2-t)$ suy ra hai công thức sin.

$$\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b},\qquad \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}.$$

Hai công thức tan này cần $\cos a\ne0$, $\cos b\ne0$ và mẫu tương ứng khác 0. Khi đó cos của góc tổng hoặc hiệu cũng khác 0. Chúng suy ra bằng chia công thức sin cho cos; nếu một tan ở vế phải không xác định, không dùng công thức dù vế trái có thể vẫn xác định.

2. Bốn nhóm suy ra từ công thức cộng

Tích thành tổng

$$\begin{aligned}\sin a\sin b&=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}2,\\ \cos a\cos b&=\frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}2,\\ \sin a\cos b&=\frac{\sin(a-b)+\sin(a+b)}2.\end{aligned}$$

Cộng hoặc trừ từng cặp công thức ở mục 1 cho các đẳng thức này. Chúng đúng với mọi $a,b$ thực, không có điều kiện mẫu chứa biến.

Nhân đôi

$$\sin2a=2\sin a\cos a,\qquad \cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a.$$
$$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}.$$

Công thức tan nhân đôi cần $\cos a\ne0$ và $1-\tan^2a\ne0$. Tử số là $2\tan a$, không phải $\tan2a$. Hai công thức sin, cos không có các hạn chế này.

Tổng thành tích

$$\begin{aligned}\sin x+\sin y&=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2,\\ \sin x-\sin y&=2\cos\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2,\\ \cos x+\cos y&=2\cos\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2,\\ \cos x-\cos y&=-2\sin\frac{x+y}2\sin\frac{x-y}2.\end{aligned}$$

Đặt $a=(x+y)/2$, $b=(x-y)/2$ trong công thức cộng rồi cộng hoặc trừ. Vì $a+b=x$, $a-b=y$, ta nhận đúng bốn dòng. Chú ý dấu trừ trước $2$ ở dòng cuối.

Nhân ba

$$\sin3a=3\sin a-4\sin^3a,\qquad \cos3a=4\cos^3a-3\cos a.$$

Thay $3a=2a+a$ vào công thức cộng, dùng nhân đôi và $\sin^2a+\cos^2a=1$ để thu gọn. Cả hai đẳng thức đúng với mọi $a$ thực. Chúng không được nhầm với $\sin^3a$ hoặc $\cos^3a$.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Giá trị góc 75 độ

Tách $75^\circ=45^\circ+30^\circ$. Công thức cộng cho

$$\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4,\qquad\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4.$$

Vì mẫu cos khác 0,

$$\tan75^\circ=\frac{1+1/\sqrt3}{1-1/\sqrt3}=2+\sqrt3.$$

Các góc trong một phép tính đều dùng cùng đơn vị độ.

Ví dụ 2. Một tích có hai góc

Với mọi $x\in\mathbb R$, công thức tích thành tổng cho

$$\sin3x\cos x=\frac{\sin2x+\sin4x}2.$$

Nếu $x=\pi/6$, vế trái bằng $\sqrt3/2$, và vế phải bằng

$$\frac{\sqrt3/2+\sqrt3/2}2=\frac{\sqrt3}2.$$

Điều này xác nhận phép thế tại góc ấy.

Ví dụ 3. Rút tổng thành tích

$$\cos5x-\cos x=-2\sin3x\sin2x.$$

Nếu xét phương trình hiệu bằng 0, suy ra $\sin3x=0$ hoặc $\sin2x=0$, tức $x=k\pi/3$ hoặc $x=k\pi/2$ với $k\in\mathbb Z$. Không chia cho một trong hai nhân tử vì sẽ làm mất nghiệm.

4. Tự luyện

  1. Tính $\sin15^\circ$ bằng công thức hiệu.
  2. Viết $\sin5x+\sin x$ thành tích.
  3. Cho $\tan a=1/2$. Tính $\tan2a$ và kiểm điều kiện công thức.
Gợi ý và đáp án
  1. $\sin(45^\circ-30^\circ)=(\sqrt6-\sqrt2)/4$.
  2. $\sin5x+\sin x=2\sin3x\cos2x$, đúng với mọi số thực $x$.
  3. Tan a đã xác định và $1-\tan^2a=3/4\ne0$. Do đó $\tan2a=1/(3/4)=4/3$.

5. Những lỗi cần tránh

Không viết $\sin(a+b)=\sin a+\sin b$. Công thức tan cần điều kiện ở cả hai góc đầu và mẫu; rút gọn không mở rộng miền ban đầu. Giữ dấu trừ trong cos tổng và cos hiệu–tổng. Khi giải phương trình dạng tích, xét từng nhân tử bằng 0 thay vì chia mất nghiệm.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bài viết cùng chuyên mục mới hơn

Bài viết cùng chuyên mục