Số 01 · Một trò chơi ƯCLN–BCNN: từ IMO 2026 đến bài toán đếm số bước
Bắt đầu với bảng (12, 12, 18). Có cách chơi kết thúc sau ba bước, cũng có cách kết thúc sau năm bước. Liệu có cách nào kết thúc sau đúng bốn bước không?
TỦ SÁCH CÙNG HỌC TOÁN · SỐ 01
Tác giả: Cùng Học Toán
Mỗi bước, chọn hai vị trí khác nhau trên bảng, mỗi vị trí ghi một số lớn hơn 1. Tìm ước chung lớn nhất d và bội chung nhỏ nhất M của hai số đã chọn, rồi thay chúng bằng d và M/d. Ván chơi kết thúc khi trên bảng còn nhiều nhất một số lớn hơn 1.
Bắt đầu với bảng (12, 12, 18). Có cách chơi kết thúc sau ba bước, cũng có cách kết thúc sau năm bước. Liệu có cách nào kết thúc sau đúng bốn bước không?
Từ Bài 1 của IMO 2026, chuyên đề xét hai trường hợp. Với hai số ban đầu, ta có một công thức tính số bước từ các số mũ trong phân tích hai số ấy ra thừa số nguyên tố. Với nhiều số ban đầu, bài viết xác định tất cả các số bước có thể xảy ra khi mỗi số trên bảng lúc đầu là A, B hoặc AB, trong đó A và B là hai số nguyên lớn hơn 1 và nguyên tố cùng nhau.
Dành cho học sinh học toán chuyên hoặc ôn thi Olympic. Kiến thức cần biết: ƯCLN, BCNN và phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Bản PDF: tiếng Việt 11 trang; tiếng Anh 12 trang.
English introduction
CÙNG HỌC TOÁN LIBRARY · ISSUE 01
A GCD–LCM Game: From IMO 2026 to Counting Moves
By Cùng Học Toán
On each move, choose two different positions on the board, each containing an integer greater than 1. Let d be the greatest common divisor of the two numbers and M their least common multiple. Replace the two numbers by d and M/d. A play ends when at most one entry greater than 1 remains.
Start with (12, 12, 18). One play ends after three moves and another after five. Can a play end after exactly four moves?
Starting from Problem 1 of the 2026 International Mathematical Olympiad, we give a formula for the number of moves when the board starts with two numbers. The formula uses the exponents in their prime factorizations. We also determine all possible lengths when every initial entry is A, B, or AB, where A and B are coprime integers greater than 1.
For students studying advanced high school mathematics or preparing for olympiads. Prerequisites: greatest common divisors, least common multiples, and prime factorization.
PDF editions: Vietnamese, 11 pages; English, 12 pages.
Để lại một bình luận