Bất đẳng thức trung bình. Cho ba số thực dương $a,b,c$. Đặt $$QM = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} ,\;\;\;\;\;AM = \frac{{a + b + c}}{3},\;\;\;\;\;GM = \sqrt[3]{{abc}},\;\;\;\;\;HM = \frac{3}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}}$$ Khi đó ta có dãy các bất đẳng thức $\hbox{(BĐT)}$ $QM \geqslant AM \geqslant GM \geqslant HM$.
Dấu $=$ ở tất cả các $\hbox{(BĐT)}$ trên xảy ra khi $a=b=c$.
Chứng minh. Chứng minh tương tự cho trường hợp $2$ số, học sinh xem ở đây.
Ví dụ 1. Cho ba số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng $$\left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{z}} \right)\left( {z + \frac{1}{x}} \right) \geqslant 8.$$
Giải. Áp dụng $\hbox{(BĐT)}$ $AM \geqslant GM$ cho hai số ta có $$x + \frac{1}{y} \geqslant 2\sqrt {\frac{x}{y}} ,\;\;\;\;y + \frac{1}{z} \geqslant 2\sqrt {\frac{y}{z}} ,\;\;\;\;z + \frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt {\frac{z}{x}} .$$ Suy ra $$\left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{z}} \right)\left( {z + \frac{1}{x}} \right) \geqslant 2\sqrt {\frac{x}{y}} \cdot 2\sqrt {\frac{y}{z}} \cdot 2\sqrt {\frac{z}{x}} = 8.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\square $$ Dấu $=$ xảy ra khi $x = \frac{1}{y},\;y = \frac{1}{z},\;z = \frac{1}{x}.$ Nghĩa là, $x = y = z = 1.$
Ví dụ 2. Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z = 1$. Chứng minh rằng $$\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y} \geqslant 1.$$
Giải. Ta có $$\left( {\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}} \right) = \frac{1}{2}\underbrace {\left( {\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x}} \right)}_{ \geqslant 2y} + \frac{1}{2}\underbrace {\left( {\frac{{yz}}{x} + \frac{{zx}}{y}} \right)}_{ \geqslant 2z} + \frac{1}{2}\underbrace {\left( {\frac{{xy}}{z} + \frac{{zx}}{y}} \right)}_{ \geqslant 2x} \geqslant x + y + z = 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\square $$ Dấu $=$ xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}.$
Ví dụ 3. Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z = 1$. Chứng minh rằng $$xy + yz + zx \geqslant 9xyz.$$
Giải. Áp dụng $\hbox{(BĐT)}$ $AM \geqslant GM$ cho ba số ta có $$\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {x + y + z} \right) \geqslant 3\root 3 \of {\left( {xy} \right)\left( {yz} \right)\left( {zx} \right)} \cdot 3\root 3 \of {xyz} = 9xyz.$$ Dấu $=$ xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}.$
solo flo