Nhị thức Newton: khai triển, Pascal và tìm hệ số
Chứng minh nhị thức bằng tổ hợp, dựng tam giác Pascal và dùng số hạng tổng quát để khai triển hoặc tìm hệ số đúng chỉ số.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Nhị thức Newton gom các tích xuất hiện khi nhân nhiều thừa số giống nhau. Hệ số tổ hợp ghi số cách chọn vị trí lấy hạng tử thứ hai; vì vậy công thức khai triển được nối trực tiếp với bài toán đếm.
Mục tiêu: khai triển, dựng tam giác Pascal và tìm số hạng chứa một lũy thừa đã cho.
Kiến thức cần biết: tổ hợp và tính chất Pascal; lũy thừa và phép nhân đa thức.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Công thức nhị thức và lý do xuất hiện tổ hợp
Hai khai triển quen thuộc là
Có thể nhân phân phối để tìm các lũy thừa cao hơn, chẳng hạn bậc $7$, nhưng số tích cần gộp tăng nhanh. Với số nguyên $n\ge1$ và $a,b$ là số thực hoặc số phức, công thức tổng quát là
Thật vậy, viết $(a+b)^n$ thành tích của $n$ thừa số $(a+b)$. Mỗi tích sau phân phối được tạo bằng cách chọn $a$ hoặc $b$ từ từng thừa số. Muốn nhận $a^{n-k}b^k$, cần chọn đúng $k$ vị trí để lấy $b$, có $C_n^k$ cách. Cộng theo mọi $k$ từ $0$ đến $n$ thu được công thức. Tính giao hoán cho phép gom các tích có cùng số lần chọn $a,b$. Với $n=0$, hai vế được hiểu là đa thức hằng $1$.
2. Đối xứng, tam giác Pascal và số hạng tổng quát
Vì $C_n^k=C_n^{n-k}$, dãy hệ số đối xứng từ hai đầu. Hai hệ số ở biên đều bằng $1$. Dùng tính chất Pascal $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ để dựng từng hàng: mỗi số bên trong bằng tổng hai số ngay phía trên nó.
Chẳng hạn $C_1^0+C_1^1=C_2^1=2$ và $C_2^1+C_2^2=C_3^2=3$. Các hàng $n=4,5$ tiếp tục theo cùng quy tắc, không cần tra hình. Hàng $n$ có $n+1$ vị trí hệ số.
Trong thứ tự viết lũy thừa của $b$ tăng dần, số hạng thứ $k+1$ là
Để tìm hệ số của $x^r$, thay biểu thức cụ thể của $a,b$, rút gọn số mũ của $x$, giải phương trình số mũ rồi kiểm tra $k$ là số nguyên trong đoạn $[0;n]$. Cuối cùng tính hệ số và phân biệt nó với toàn bộ số hạng chứa $x^r$.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Khai triển bậc bảy
Dùng các hệ số $C_7^k$, theo thứ tự $k=0,1,\ldots,7$, được dãy $1,7,21,35,35,21,7,1$. Vì vậy
Mỗi số hạng có tổng số mũ của $a,b$ bằng $7$. Tổng hệ số bằng $2^7=128$, có thể kiểm tra bằng cách thay $a=b=1$.
Ví dụ 2. Đối xứng của các hệ số
Trong khai triển vừa có, cặp đầu–cuối là $1,1$, kế đến $7,7$, $21,21$, và hai số giữa đều bằng $35$. Đây là các đẳng thức $C_7^0=C_7^7$, $C_7^1=C_7^6$, $C_7^2=C_7^5$, $C_7^3=C_7^4$. Tính đối xứng thuộc dãy hệ số; không nói các số hạng bằng nhau với mọi $a,b$.
Ví dụ 3. Tìm số hạng chứa x mũ tám
Tìm số hạng chứa $x^8$ trong $(x^2+2)^{10}$. Số hạng tổng quát là
Điều kiện $20-2k=8$ tương đương $k=6$, là chỉ số nguyên hợp lệ. Do đó số hạng cần tìm là
Hệ số của $x^8$ là $13440$; toàn bộ số hạng là $13440x^8$. Vì $k=6$, đây là số hạng thứ $7$ trong cách sắp thứ tự đã quy định, không phải số hạng thứ $6$.
4. Bài tập tự luyện
- Tìm hệ số của $x^3$ trong $(1-2x)^5$.
- Tìm số hạng không chứa $x$ trong $(2x-1/x)^6$, với $x\ne0$.
- Trong $(x^2+2)^{10}$ có số hạng chứa $x^7$ không? Giải thích bằng chỉ số $k$.
Mở đáp án và gợi ý
- Với $a=1,b=-2x$, chọn $k=3$: hệ số $C_5^3(-2)^3=10(-8)=-80$.
- Số hạng tổng quát là $C_6^k2^{6-k}(-1)^kx^{6-2k}$. Số mũ bằng $0$ khi $k=3$, nên số hạng không chứa $x$ là $C_6^3\cdot8\cdot(-1)=-160$.
- Không có: $20-2k=7$ cho $k=13/2$, không phải số nguyên. Tương đương, mọi số mũ trong khai triển đều chẵn.
5. Những lỗi cần tránh
- Áp dụng khai triển hữu hạn này cho số mũ không phải số nguyên không âm mà không có định lý khác.
- Quên dấu của $b$ khi $b=-2x$, hoặc chỉ nâng lũy thừa cho $x$ mà bỏ hệ số.
- Nhận một nghiệm $k$ không nguyên hoặc ngoài $[0;n]$.
- Nhầm chỉ số $k$ với vị trí số hạng $k+1$, hoặc nhầm hệ số với số hạng.
Để lại một bình luận