Cộng xác suất lớp 11: xung khắc, giao nhau và biến cố đối

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Khi tính xác suất của một hợp, cần kiểm các trường hợp có chồng lên nhau không. Nếu chúng xung khắc, cộng trực tiếp; nếu có giao, phải trừ phần đã đếm hai lần.

Mục tiêu: phân chia thành các trường hợp xung khắc, dùng biến cố đối và sửa phép đếm trùng trong hợp hai biến cố.

Kiến thức cần biết: biến cố hợp/giao, xác suất cổ điển và tổ hợp.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Công thức cho hai biến cố

Nếu $A\cap B=\varnothing$, tính cộng xác suất cho

Với hai biến cố bất kỳ, có công thức đầy đủ

Để chứng minh, phân chia $A\cup B$ thành ba phần đôi một xung khắc: $A\setminus B$, $A\cap B$, $B\setminus A$. Trong $P(A)+P(B)$, phần giao xuất hiện hai lần, còn trong xác suất của hợp chỉ xuất hiện một lần. Trừ một lần phần giao cho công thức. Khi giao rỗng, nó trở về công thức thứ nhất.

2. Nhiều trường hợp và biến cố đối

Nếu $A_0,\ldots,A_n$ đôi một xung khắc, lặp công thức cộng cho xác suất hợp bằng tổng các xác suất. Phải kiểm xung khắc từng đôi; việc các biến cố có mô tả khác nhau không đủ. Nếu chúng phân chia toàn bộ $\Omega$, tổng các xác suất bằng 1.

Vì $A$ và $\overline A$ xung khắc, hợp bằng $\Omega$, nên $P(A)+P(\overline A)=1$. Suy ra

Vế phải phải trừ một xác suất, không trừ trực tiếp một biến cố. Biến cố “ít nhất một” thường có biến cố đối “không có”; nếu phần đối ít trường hợp hơn, đây là cách tính ngắn hơn mà vẫn cần cùng mô hình phép thử.

3. Ba ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Ba bi cùng màu

Hộp có 6 đỏ 4 trắng. Chọn đều 3 viên không hoàn lại, không xét thứ tự. Gọi $A_j$ là có đúng $j$ bi đỏ, $j=0,1,2,3$. Số nhóm tất cả là $\binom{10}3=120$. Số thuận lợi cho $A_j$ là $\binom6j\binom4{3-j}$, cho

Các biến cố đôi một xung khắc vì một nhóm không thể có hai số bi đỏ khác nhau. Chúng phủ toàn bộ kết quả, và bốn xác suất có tổng 1. Biến cố $M$ có 3 bi cùng màu là $A_0\cup A_3$, nên

Ví dụ 2. Có ít nhất một bi đỏ, hai cách tính

Cùng phép thử, $N=A_1\cup A_2\cup A_3$. Cộng ba phần xung khắc cho $P(N)=(9+15+5)/30=29/30$. Mặt khác, $\overline N=A_0$, vì không có đỏ tức cả 3 viên trắng. Do đó $P(N)=1-P(A_0)=1-1/30=29/30$.

Hai cách cùng dựa trên một phân chia. Khi bài có nhiều mức số lượng cần cộng, phần đối “không có đỏ” chỉ gồm một mức nên thường tiết kiệm phép đếm.

Ví dụ 3. Hai tiết mục văn nghệ trong nhóm 30 học sinh

Chọn đều một học sinh từ nhóm 30 người đang xét. Có 15 người tham gia tốp ca,10 người tham gia tốp múa,6 người tham gia cả hai. Gọi $A,B$ là hai biến cố tham gia ca và múa. Biến cố tham gia ít nhất một tiết mục là hợp, nên

Có 19 người thuộc ít nhất một nhóm, còn 11 người không thuộc nhóm nào. Số 6 đã được tính trong cả 15 và 10, vì vậy cần trừ một lần. Mẫu 30 là số học sinh được chọn đều trong đề đã xác định, không đổi sang một lớp có sĩ số chưa biết.

4. Tự luyện

1. Với xúc xắc cân đối, đặt $A=\{2,4,6\}$ và $B=\{4,5,6\}$. Tính $P(A\cup B)$.
2. Trong bài hộp bi, tính xác suất không phải cả 3 cùng màu.
3. Nếu $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\cap B)=0{,}2$, tính xác suất hợp. Có được cộng thẳng 0,4+0,5 không?

5. Những lỗi cần tránh

Không dùng độc lập thay cho xung khắc khi cộng. “Hoặc” trong hợp bao gồm khả năng cả hai cùng xảy ra. Dùng biến cố đối cần viết đúng phần bù trong cùng không gian mẫu. Sau khi tính, xác suất hợp không được vượt 1.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.