Phép thử và biến cố: kết quả, hợp, giao và biến cố đối

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Một kết quả là điều xảy ra trong một lần thử; một biến cố là tập các kết quả thỏa một điều kiện. Dùng tập hợp giúp phân biệt “hoặc”, “và”, “không xảy ra” trước khi tính xác suất.

Mục tiêu: lập không gian mẫu hữu hạn; biểu diễn các biến cố, hợp, giao, xung khắc và biến cố đối.

Kiến thức cần biết: tập hợp hữu hạn, phần tử, hợp và giao.

Trong bài: Khái niệm · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Phép thử, kết quả và không gian mẫu

Phép thử ngẫu nhiên là hoạt động có các kết quả khả dĩ được xác định trong mô hình, còn trước khi làm chưa biết kết quả nào xảy ra. Trong bài này, không gian mẫu $\Omega$ là tập hữu hạn, khác rỗng, chứa các kết quả đó. Mỗi lần thực hiện cho một phần tử $\omega\in\Omega$.

Biến cố $A$ là một tập con của $\Omega$; nó xảy ra đúng khi kết quả $\omega$ thuộc $A$. Vì vậy không đồng nhất một kết quả với mọi loại biến cố. Biến cố chỉ chứa một kết quả $\{\omega\}$ được gọi là biến cố sơ cấp trong mô hình hữu hạn đang dùng.

Biến cố chắc chắn là $\Omega$; biến cố không thể là $\varnothing$. Những biến cố có thể xảy ra hoặc không tùy kết quả thường được gọi là biến cố ngẫu nhiên. Ở bước này chưa cần giả sử các kết quả đồng khả năng; giả thiết đó chỉ cần khi tính xác suất bằng cách đếm đều.

2. Phép toán giữa các biến cố

Hợp $A\cup B$ xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra, kể cả khi cả hai xảy ra. Giao $A\cap B$ xảy ra khi cả hai cùng xảy ra. Hai biến cố xung khắc khi $A\cap B=\varnothing$, nghĩa là không đồng thời xảy ra trong cùng lần thử.

Biến cố đối $\overline A=\Omega\setminus A$ xảy ra khi $A$ không xảy ra. Luôn có $A\cup\overline A=\Omega$ và $A\cap\overline A=\varnothing$. Hai biến cố xung khắc chưa nhất thiết là hai biến cố đối: để đối nhau còn cần hợp bằng toàn không gian mẫu.

Trong không gian hữu hạn với các biến cố là mọi tập con, mỗi biến cố là hợp của các biến cố sơ cấp tương ứng với các phần tử của nó. Các biến cố sơ cấp này đôi một xung khắc. Hợp rỗng là biến cố không thể; không gọi tập rỗng là biến cố sơ cấp.

3. Mười hai ví dụ về biến cố

Ví dụ 1. Tung đồng xu

Tung một đồng xu có hai mặt sấp và ngửa. Ký hiệu kết quả là $S,N$, thì $\Omega=\{S,N\}$. Biến cố xuất hiện sấp là $\{S\}$, xuất hiện ngửa là $\{N\}$. Tính đồng chất chưa cần để lập hai tập này.

Ví dụ 2. Tung một xúc xắc sáu mặt

Chọn $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, số chỉ số chấm xuất hiện. Đặt $A_j=\{j\}$ với $j=1,\ldots,6$. Đặt $A=\{2,4,6\}$ là chẵn, $B=\{1,3,5\}$ là lẻ, $C=\{4,5,6\}$ là ít nhất 4 chấm, $D=\{1,2,3\}$ là nhiều nhất 3 chấm. Đặt $E$ là ít nhất 1 chấm, $F$ là ít nhất 7 chấm.

Ví dụ 3. Biến cố chắc chắn

Mọi kết quả đều có ít nhất 1 chấm, nên $E=\Omega$. Điều này đúng do mô hình xúc xắc có đúng sáu mặt đã nêu.

Ví dụ 4. Biến cố không thể

Không có kết quả nào có ít nhất 7 chấm, nên $F=\varnothing$. Không thêm kết quả 7 vào không gian mẫu chỉ vì nó được nhắc trong điều kiện.

Ví dụ 5. Các biến cố không tầm thường

Mỗi $A_j$, cũng như $A,B,C,D$, đều có phần tử nhưng không bằng $\Omega$. Có kết quả làm chúng xảy ra và có kết quả làm chúng không xảy ra.

Ví dụ 6. Phân tích thành các biến cố sơ cấp

Có $A=A_2\cup A_4\cup A_6$, $B=A_1\cup A_3\cup A_5$, $C=A_4\cup A_5\cup A_6$, $D=A_1\cup A_2\cup A_3$. Ngoài ra $E=\bigcup_{j=1}^{6}A_j$, còn $F$ là hợp rỗng. Biến cố chẵn có ba kết quả thuận lợi 2,4,6.

Ví dụ 7. Các biến cố hợp

Ta có $A\cup B=C\cup D=\Omega$. Đồng thời $A\cup C=\{2,4,5,6\}$ và $A\cup D=\{1,2,3,4,6\}$. Một kết quả đã thuộc cả hai tập vẫn chỉ liệt kê một lần trong hợp.

Ví dụ 8. Các biến cố giao

Có $A\cap B=C\cap D=\varnothing$, $A\cap C=\{4,6\}$ và $B\cap D=\{1,3\}$. Chỉ giữ các kết quả thỏa đồng thời cả hai điều kiện.

Ví dụ 9. Biến cố sơ cấp

Các $A_1,\ldots,A_6$ là sơ cấp vì mỗi tập có một phần tử. $A$ không sơ cấp vì chứa ba kết quả và phân tích được thành hợp các tập con một phần tử. $F$ không sơ cấp vì là tập rỗng.

Ví dụ 10. Hai cặp xung khắc

Hai biến cố $A,B$ xung khắc; $C,D$ cũng xung khắc. Các giao đã tính ở ví dụ 8 đều rỗng. Chỉ riêng việc chúng có tên hoặc mô tả khác nhau không đủ kết luận xung khắc.

Ví dụ 11. Tập rỗng và mọi biến cố

Với mọi $H\subseteq\Omega$, có $H\cap\varnothing=\varnothing$. Vì vậy biến cố không thể xung khắc với mọi biến cố, kể cả chính nó.

Ví dụ 12. Các cặp biến cố đối

Ta có $\overline A=B$, $\overline C=D$, $\overline E=F$. Mỗi cặp vừa xung khắc vừa phủ toàn không gian mẫu, đúng cả hai điều kiện của biến cố đối.

4. Tự luyện

1. Trong phép tung xúc xắc trên, viết biến cố $H$ xuất hiện số chấm lớn hơn 4 và biến cố đối của nó.
2. Tính $A\cap D$ và $B\cup C$.
3. Hai biến cố $\{1\}$ và $\{2\}$ có xung khắc không? Có đối nhau không?

5. Những lỗi cần tránh

Không nhầm một kết quả với một biến cố gồm nhiều kết quả. “Hoặc” trong hợp có nghĩa bao gồm khả năng cả hai cùng xảy ra. Biến cố đối phụ thuộc không gian mẫu; muốn kiểm đối nhau phải kiểm cả hợp lẫn giao.

6. Học tiếp

Xác suất của biến cố · Xác suất có điều kiện · Công thức cộng xác suất · Công thức nhân xác suất.

Tài liệu bài tập gốc trên Scribd.