Lũy thừa: định nghĩa, quy tắc và điều kiện của cơ số
Phân biệt số mũ nguyên, hữu tỉ và thực; xác định điều kiện của lũy thừa, căn thức và chiều so sánh theo cơ số.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Các quy tắc lũy thừa chỉ dùng được trong miền mà những biểu thức liên quan đã xác định. Việc phân biệt số mũ nguyên với số mũ thực giúp tránh áp dụng một công thức đúng cho cơ số dương sang trường hợp chưa được định nghĩa.
Mục tiêu: tính và rút gọn lũy thừa; giữ điều kiện khi có mẫu hoặc căn; so sánh các lũy thừa cùng cơ số.
Kiến thức cần biết: phép nhân, phân số, căn bậc n và giá trị tuyệt đối.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Từ số mũ nguyên đến số mũ thực
Với số nguyên $n\ge1$, $a^n$ là tích của $n$ thừa số bằng $a$; $a$ là cơ số và $n$ là số mũ. Với $a\ne0$, quy ước $a^0=1$ và $a^{-n}=1/a^n$. Trong bài này $0^0$ và lũy thừa số mũ âm của $0$ không được định nghĩa.
Với $a>0$ và $m\in\mathbb Z$, $n\ge2$ nguyên, định nghĩa $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, lấy căn dương. Giá trị không phụ thuộc cách biểu diễn cùng một số hữu tỉ: chẳng hạn $a^{1/2}=a^{2/4}$. Điều kiện cơ số dương bảo đảm dùng thống nhất các quy tắc cho mọi số mũ hữu tỉ.
Với $a>0$, lũy thừa số mũ vô tỉ $a^\alpha$ được mở rộng từ các lũy thừa hữu tỉ bằng giới hạn: nếu $r_n\in\mathbb Q$ và $r_n\to\alpha$, thì $a^{r_n}\to a^\alpha$. Tính tồn tại và không phụ thuộc dãy là tính chất của phép mở rộng liên tục này. Không dùng cơ số âm để định nghĩa tùy ý mọi số mũ thực.
2. Quy tắc và chiều so sánh
Với $a,b>0$ và $u,v\in\mathbb R$, các quy tắc là
Với các số mũ nguyên, nhiều công thức còn đúng cho cơ số âm khác $0$; tuy nhiên không dùng sự mở rộng ấy cho số mũ thực tùy ý. Với cơ số dương, $a^x>0$ nên có thể chia cho $a^x$. Tổng $a^u+a^v$ không rút thành $a^{u+v}$.
Nếu $a>1$, so sánh $a^u,a^v$ cùng chiều so sánh $u,v$. Nếu $0<a<1$, chiều bị đảo. Với $a=1$, mọi lũy thừa đều bằng $1$, nên không suy ra quan hệ giữa các số mũ.
3. Tám nhóm ví dụ của bài học
Ví dụ 1. Số mũ nguyên
$3\cdot3=3^2$ và $q\cdot q\cdot q\cdot q=q^4$ với mọi $q$ thực. Ngoài ra $2^{-3}=1/8$; $2^{-2}/3^2=1/(4\cdot9)=1/36$. Vì $3^x>0$, ta luôn có $(3^x)^0=1$ với mọi $x$ thực.
Ví dụ 2. Rút gọn bằng quy tắc
Các biểu thức có cơ số dương sau đây được tính với số mũ thực; nếu dùng biến ở mẫu thì cần giữ điều kiện. Ta có
Trong phân thức kế tiếp, mẫu được viết rõ là $3\cdot2^t-2^t$, và được phân tích nhân tử như sau:
Mẫu bằng $2^{t+1}>0$ nên phép rút gọn đúng với mọi $t$ thực. Cuối cùng, đặt $u=3^x>0$, được
Ví dụ 3. Số mũ một phần hai
$(0{,}25)^{1/2}=\sqrt{1/4}=1/2$. Căn bậc hai là giá trị không âm; không thêm dấu $\pm$ vào giá trị của biểu thức này.
Ví dụ 4. Hai số mũ đối nhau
$2x^{1/2}\cdot4x^{-1/2}=8x^0=8$, với $x>0$. Điều kiện đến từ lũy thừa âm một phần hai; kết quả hằng số không cho phép nhận lại $x=0$.
Ví dụ 5. Căn thức không phụ thuộc x
Cho $4\le x\le8$, xét $A=\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}$. Đặt $u=\sqrt{x-4}\in[0;2]$. Hai biểu thức dưới căn ngoài bằng $(u+2)^2$ và $(u-2)^2$, nên đều không âm. Vì vậy
Cũng có $A^2=2x+2|x-8|=16$ trên đoạn đã cho, và $A\ge0$ nên $A=4$. Điều kiện đoạn dùng để chọn dấu của giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 6. Xấp xỉ số mũ vô tỉ
Chọn các số hữu tỉ $r_1=1$, $r_2=1{,}4$, $r_3=1{,}41$, $r_4=1{,}414,\ldots$, bằng cách cắt dần chữ số thập phân của $\sqrt2$. Khi đó $r_n\to\sqrt2$ và $3^1,3^{1{,}4},3^{1{,}41},3^{1{,}414},\ldots$ tiến đến $3^{\sqrt2}$ theo định nghĩa mở rộng liên tục.
Ví dụ 7. Cơ số lớn hơn 1
Vì $\sqrt2<\sqrt3$ và $2>1$, suy ra $2^{\sqrt2}<2^{\sqrt3}$.
Ví dụ 8. Cơ số nằm giữa 0 và 1
Vì $(6/5)^2=36/25<3$, có $6/5<\sqrt3$. Với cơ số $2/3\in(0;1)$, suy ra $(2/3)^{6/5}>(2/3)^{\sqrt3}$.
4. Bài tập tự luyện
- Tính $16^{3/4}$ và $27^{-2/3}$.
- Rút gọn $\dfrac{x^{3/2}-x^{1/2}}{x^{1/2}}$ và ghi điều kiện.
- Với $A$ ở ví dụ 5, tính $A$ khi $x=13$; vì sao không còn bằng 4?
Mở gợi ý và đáp án
- $16^{3/4}=2^3=8$; $27^{-2/3}=1/3^2=1/9$.
- Cần $x>0$. Tách $x^{1/2}(x-1)$ ở tử, được $x-1$ trên miền ấy.
- $u=\sqrt{13-4}=3$, nên $A=|3+2|+|3-2|=6$. Vì $x>8$, dấu của $u-2$ đổi so với đoạn trong đề.
5. Những lỗi cần tránh
Không bỏ điều kiện của mẫu hoặc căn sau khi rút gọn. Luôn dùng $\sqrt{v^2}=|v|$. Phân biệt phép nhân với dấu phẩy thập phân. Không áp dụng tính đơn điệu khi cơ số bằng 1 và không dùng số mũ thực tùy ý cho cơ số âm.
Để lại một bình luận