Đạo hàm hàm mũ và logarit lớp 11: hàm hợp và điều kiện
Tính đạo hàm hàm mũ và logarit bằng quy tắc hàm hợp; nêu rõ miền xác định, mẫu khác 0 và điều kiện khi dùng logarit trị tuyệt đối.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Đạo hàm của hàm mũ giữ lại hàm mũ, còn đạo hàm của logarit chứa nghịch đảo của đối số. Với hàm hợp, phải nhân thêm đạo hàm của hàm bên trong; điều kiện xác định vẫn cần được giữ sau khi tính.
Mục tiêu: dùng công thức đúng miền; áp dụng quy tắc tích, thương và hàm hợp; phân biệt ln u với ln|u|.
Kiến thức cần biết: đạo hàm cơ bản, quy tắc tích–thương–hàm hợp, lũy thừa và logarit.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Công thức và miền xác định
Với $a>0$, $a\ne1$, các công thức cơ bản là
Mẫu $\ln a$ khác 0 vì $a\ne1$. Với $x\ne0$, còn có
Khi $x<0$, viết $\ln|x|=\ln(-x)$ rồi dùng hàm hợp: đạo hàm là $(-1)/(-x)=1/x$. Công thức này không làm $\ln x$ xác định tại số âm.
Công thức hàm mũ cũng cho đạo hàm bằng 0 khi $a=1$, nhưng khi viết công thức logarit luôn phải loại cơ số 1. Các công thức đang xét trong giải tích thực.
2. Hàm hợp và cách kiểm kết quả
Giả sử $u$ khả vi trên một khoảng. Khi đó
Với $\log_a u(x)$ hoặc $\log_a|u(x)|$, chia hai công thức logarit tự nhiên tương ứng cho $\ln a$, giữ cùng điều kiện đối số. Không lấy đạo hàm qua điểm $u(x)=0$, nơi hàm logarit không tồn tại.
Để tính một biểu thức nhiều phép toán, ghi miền xác định, xác định phép toán ngoài cùng, rồi áp dụng quy tắc tích hoặc thương trước khi rút gọn. Có thể nhóm các hàm mũ giống nhau để kiểm hệ số. Với thương, mẫu sau đạo hàm là bình phương của mẫu ban đầu, nhưng miền vẫn là miền gốc.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Tích đa thức và hàm mũ
Cho $y=(x^2-2x+2)e^x$, xác định với mọi $x$ thực. Dùng quy tắc tích:
Vì $e^x>0$, đạo hàm không âm và chỉ bằng 0 tại $x=0$. Phép tính được kiểm bằng việc cộng hai đa thức $(2x-2)+(x^2-2x+2)=x^2$.
Ví dụ 2. Thương hai tổ hợp hàm mũ
Cho $y=(e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})$. Mẫu dương với mọi $x$, nên miền là $\mathbb R$. Đặt $A=e^x$, $B=e^{-x}$; khi ấy $AB=1$, $(A-B)^{\prime}=A+B$, $(A+B)^{\prime}=A-B$. Quy tắc thương cho
Dấu cộng trong đạo hàm tử đến từ đạo hàm của $-e^{-x}$; bỏ dấu này sẽ làm sai kết quả. Đạo hàm luôn dương vì mẫu là bình phương của một số dương.
Ví dụ 3. Logarit trị tuyệt đối
Cho $y=\ln|2x-1|$, miền là $x\ne1/2$. Hàm bên trong có đạo hàm 2, nên $y^{\prime}=2/(2x-1)$ trên từng khoảng của miền. Nếu đề là $\ln(2x-1)$, công thức đạo hàm giống nhau nhưng chỉ dùng trên $x>1/2$.
4. Bài tập tự luyện
- Tính đạo hàm $y=3^{2x-1}$.
- Tìm miền và đạo hàm $y=\log_2(x^2-1)$.
- Tính đạo hàm $y=x\ln x$ và ghi miền.
Mở gợi ý và đáp án
- $y^{\prime}=2\ln3\cdot3^{2x-1}$, với mọi $x$ thực.
- Cần $x^2-1>0$, nên $x<-1$ hoặc $x>1$. Đạo hàm $2x/[(x^2-1)\ln2]$ trên miền đó; không nhận các điểm $-1<x<1$ dù phân thức đạo hàm có thể được tính.
- Miền $x>0$. Quy tắc tích cho $y^{\prime}=\ln x+1$.
5. Những lỗi cần tránh
Không quên đạo hàm của hàm bên trong. Không đổi nhầm đạo hàm $e^{-x}$ thành $e^{-x}$. Phân biệt miền của ln u và ln|u|; công thức rút gọn của đạo hàm không mở rộng miền của hàm gốc.
Để lại một bình luận