Phương trình tiếp tuyến đường tròn trong Oxy – lớp 10
Viết tiếp tuyến tại điểm và qua điểm ngoài bằng điều kiện khoảng cách, xét riêng đường đứng và kiểm tra đầy đủ các nghiệm.
Cập nhật nội dung: 22/10/2026
Tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. Với tiếp tuyến qua một điểm cho trước, điều kiện khoảng cách từ tâm đến đường bằng bán kính giúp tìm đủ nghiệm, kể cả đường đứng.
Mục tiêu: lập tiếp tuyến tại điểm và qua điểm ngoài; kiểm tra điểm thuộc đường tròn và tránh sót tiếp tuyến đứng.
Kiến thức cần biết: phương trình đường tròn, khoảng cách điểm–đường và hệ số góc.
Trong bài: Ý tưởng · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp
1. Tiếp tuyến tại một điểm
Cho đường tròn tâm $I(a;b)$, bán kính $R>0$ và $M_0(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn. Vectơ $\overrightarrow{IM_0}=(x_0-a;y_0-b)$ khác $\vec0$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M_0$. Do đó phương trình là
Phải kiểm tra $(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=R^2$ trước khi dùng. Nếu $M_0$ không thuộc đường tròn, công thức này không phải phương trình tiếp tuyến tại $M_0$.
2. Tiếp tuyến qua một điểm cho trước
Đường $d$ tiếp xúc đường tròn đúng khi $d(I,d)=R$. Gọi $H$ là chân chiếu của $I$ trên $d$. Với $Q\in d$, định lý Pythagore cho $IQ^2=IH^2+HQ^2$, nên $Q$ thuộc đường tròn đúng khi $HQ^2=R^2-IH^2$. Nếu $IH>R$, không có điểm chung; nếu $IH=R$, chỉ có $Q=H$; nếu $IH<R$, có hai điểm chung ở hai phía của $H$. Điều này chứng minh cả hai chiều của điều kiện tiếp xúc.
Qua điểm $M(p;q)$, xét riêng đường đứng $x=p$. Các đường còn lại có dạng $y=k(x-p)+q$. Thay vào điều kiện khoảng cách, giải theo $k$, rồi kiểm tra mỗi đường đi qua $M$ và có khoảng cách đến tâm bằng $R$. Vì các vế khoảng cách không âm, phép bình phương để giải là tương đương.
Nếu $IM>R$, có hai tiếp tuyến qua $M$; nếu $IM=R$, có một; nếu $IM<R$, không có tiếp tuyến thực. Chọn đường dạng hệ số góc không bao quát đường đứng nên không được bỏ bước xét riêng.
3. Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Tiếp tuyến tại điểm trên đường tròn
Cho $x^2+y^2+2x-4y-4=0$, viết tiếp tuyến tại $M_0(-1;5)$. Hoàn thành bình phương: $(x+1)^2+(y-2)^2=9$, nên $I(-1;2)$, $R=3$. Điểm $M_0$ thuộc đường tròn vì $0^2+3^2=9$. Pháp tuyến $(0;3)$ cho $3(y-5)=0$, tức $y=5$.
Ví dụ 2. Hai tiếp tuyến qua điểm ngoài
Cho $M(2;5)$ và đường tròn $x^2+y^2-2x-4y-3=0$. Tâm là $I(1;2)$, $R=\sqrt8$. Vì $IM^2=1+9=10>8$, có hai tiếp tuyến. Đường đứng $x=2$ có khoảng cách từ tâm bằng $1$, nên không là tiếp tuyến.
Đường có hệ số góc $k$ qua $M$ viết $k(x-2)-y+5=0$. Điều kiện tiếp xúc là
Phân tích $(7k-1)(k+1)=0$, thu được $k=-1$ hoặc $k=1/7$. Vì vậy hai đường là
Cả hai đều qua $(2;5)$. Bình phương khoảng cách từ $I$ đến chúng lần lượt là $(-4)^2/2=8$ và $20^2/50=8$, xác nhận đúng bán kính.
Ví dụ 3. Một tiếp tuyến đứng
Với đường tròn $x^2+y^2=1$ và $M(1;2)$, đường $x=1$ là tiếp tuyến vì khoảng cách từ $O$ bằng $1$. Với đường $y=k(x-1)+2$, điều kiện khoảng cách cho $(2-k)^2=1+k^2$, nên $k=3/4$. Tiếp tuyến còn lại là $3x-4y+5=0$. Nếu chỉ giải theo $k$, sẽ bỏ mất $x=1$.
4. Bài tập tự luyện
- Viết tiếp tuyến của $x^2+y^2=1$ tại $(0;1)$.
- Cho đường tròn $(x-1)^2+(y+2)^2=9$. Có tiếp tuyến nào đi qua tâm $(1;-2)$ không? Viết tiếp tuyến tại $(4;-2)$.
- Kiểm tra $2x+y-5=0$ là tiếp tuyến của $x^2+y^2=5$ và tìm tiếp điểm.
Mở đáp án và gợi ý
- Pháp tuyến $(0;1)$ cho $y=1$.
- Không có tiếp tuyến đi qua tâm vì tâm ở trong đường tròn. Tại $(4;-2)$, pháp tuyến $(3;0)$ cho $x=4$.
- Khoảng cách từ $O$ đến đường là $5/\sqrt5=\sqrt5$. Chân chiếu của $O$ lên đường là $(2;1)$, đó là tiếp điểm.
5. Những lỗi cần tránh
- Áp dụng công thức tại điểm khi điểm ấy ở ngoài đường tròn.
- Quên đường đứng khi dùng hệ số góc.
- Tìm được hệ số góc nhưng thay sai điểm đi qua để tính hệ số tự do.
- Không kiểm tra lại khoảng cách từ tâm và điều kiện đi qua điểm cho trước.
Để lại một bình luận